pauta certamen matematicas 2

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´
e
ıa
Departamento de Matem´tica
a

Pauta Certamen N◦ 1
Matem´tica II (MAT-022)
a

P1) La funci´n g cuya derivada es g (x) = x + 1 y cuya gr´fica pasa por el punto (0, 0) es:
o
a
a) g(x) =

(x+1)2
2

b) g(x) =

(x+1)2
2

c) g(x) =

−

1
2

x2
2

+x+

1
2

d) g(x) =

x2
2

+x−

1
2

e) g(x) =

x2
2

+xD1) Una antiderivada de g (x) es g(x) =
2
c = 0 y g(x) = x + x.
2
0
2

P2) Si X ∈ M2x2 (R) es tal que
a)

3
2
1
2

4
2
2
3

2
4

entonces X =

4
1

2

1
3

·X =

1
0

2
3

T

3
1

0

+ x + c en donde c es una constante. Como g(0) = 0 se concluye que

2
1

b)

2
0

x2
2

1
2

c)
d)
d)

3
2

1
0
2

D2) Sea A =

2
0

T

02

=

2
0
0

X = A−1 B, es decir, X =

1
2

1
3

y B =
1
2

0

1
3

·

2
4

2
4

. Con esto se tendr´ que resolver A · X = B. Luego
a
3
2
1
2

=

2
1

1

P3) Sea f una funci´n integrable en [0, 3]. Si
o

3

3

f (t) dt = −5 y

f (t) dt = 1,
0

es igual a:

.

0

2

f (t) dt = 1; entonces
2

f (t) dt
1

a) 3
b) 1
c) −5
d)−7
e) No es posible determinarla
3

D3) Notar que

1

f (t) dt =
0

2

f (t) dt +
0

3

f (t) dt +
1

2

1 + x + 1. De esta manera se concluye que x = −7.

1◦ Semestre 2010

2

f (t) dt, entonces se tendr´ que −5 =
a

f (t) dt. Sea x =
1

1

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e
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a
28
0

P4) Si A =
a)
b)

0
280
1

yB=

1
0

entonces ABA−1 B −1 =

1
28

0
1
28

0

1
28

0
1
28

0

c)

0
1
− 28

1
− 28
0

d)

1
− 28
0

0
1
− 28

e)

1
0

0
1

D4) Se tiene que A−1 =
A−1 B −1 =

0
1
28

1
28

0

1
28

0

0
1
28

y B −1 =

y ABA−1 B −1 =

0 1
. De esta forma se concluye que AB =
1 0
1 0
.
0 1
x2

P5) Sea f : [1, +∞] −→R la funci´n definida por la f´rmula f (x) =
o
o
√
de f (2) − f ( 2)?

2

√

0 28
28 0

,

4 + t2
dt. Entonces, ¿cu´l es el valor
a
t

a) 0
√
b) 2
√
c) 2 5
√
d) 4 2
√
e) 8 2
√
u
d
4 + t2
D5) Del teorema fundamental del c´lculo integral se tiene que: f (x) =
a
dx
t
2
√
√
√
√
4 + u2
4 + x4
Luego se tendr´ que f (x) =
a
· 2x = 2
y que f (2) − f ( 2) = 20−
u
x

·
2
2

du
con u(x) = x2 .
dx
√
√
4 + t2
dt = 2 5.
t

P6) Si A es una matriz sim´trica, entonces se cumple:
e
I. A es invertible.
II. A2 es una matriz sim´trica.
e
III. A · AT = I.
Es (son) correcta(s):
a) S´lo I
o
b) S´lo II
o
c) S´lo III
o
d) I y III
e) II y III
D6) Primero notar que si S es sim´trica se tendr´ que S = S T y de esta forma se concluye que S 2tambi´n lo es.
e
a
e
1 0
Luego II es correcta. Para ver que I y III son falsas basta tomar la matriz sim´trica S =
e
y ver que
0 0
det(S) = 0 y que S · S T = S = I.

1◦ Semestre 2010

2

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a

P7) La estimaci´n de la cantidad de metros c´bicos M (x) de cierto material en una monta˜a a diferentes alturas
o
un
x puede ser modelado como

 4
x+1
M (x) =

5

si 0 ≤ x ≤ 3
si 3 < x ≤ 4
si 4 < x ≤ 5

La cantidad promedio de material cuando la altura x ∈ [0, 5] es:
a) 4, 3 metros c´ bicos
u
b) 21, 5 metros c´bicos
u
c) 4, 2 metros c´bicos
u
d) 4, 5 metros c´bicos
u
e) No es posible determinarlo
D7) La funci´n M : [0, 5] −→ R es continua e integrable. Del teorema de valor medio delc´lculo integral existe un
o
a
5
5
43
c ∈ (0, 5) tal que M (c) · (5 − 0) =
se concluye que M (c) = 43 = 4, 3.
M (x) dx. Como
M (x) dx =
10
2
0
0
P8) Al considerar una partici´n del intervalo [1, 3] en 4 subintervalos de igual longitud, el estimativo por defecto
o
1
de la integral definida 0 (1 + x2 ) dx es:
a) 1
b) 2
c)

35
4

d)

38
8

e) 8
3
4
D8) Los cuatro...