pendulo simple

Método de Newton[editar · editar fuente]
Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo formeun ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posicionesextremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, \ell, del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que seaarmónico.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.

La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dosfuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

F_\text{t} = -mg\sin{\theta} =ma_\text{t} \,

siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerzarecuperadora).

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

a_\text{t}= \ell\ddot\theta \,

siendo \ddot\theta \, la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

-mg\sin\theta= m\ell\ddot\theta \qquad\Rightarrow\qquad \ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0 \,

Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, demodo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

Método de Lagrange[editar · editar fuente]
El lagrangiano del sistema es

\mathcal{L} = T - V =\frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 - mgl\cos{\theta}

donde \theta\, es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y l\, es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de...