perro

Ejemplo de aproximaci´n de una funci´n de
o
o
dos variables mediante polinomios de Taylor
Francisco A. Oca˜a Lara
n
Depto. de Estad´
ıstica e Investigaci´n Operativa
o
Octubre de 2008

1.Planteamiento
Dada la funci´n
o
f (x, y) = cos(2x + ln(y)),

∀ (x, y) ∈ R × R+ ,

vamos a ilustrar la utilidad de los polinomios de Taylor de grados 2 y 3 en el
punto (0, 1), a los quedenotaremos con p2 (x, y) y p3 (x, y), respectivamente.
Haciendo uso del Teorema de Taylor (Valderrama, 1995), dichos polinomios vienen dados por las siguientes expresiones:
∂f
∂f
(0, 1) + (y − 1) (0,1)
∂x
∂y
2
2
1
∂ f
∂ f
∂ 2f
+ x2 2 (0, 1) + (y − 1)2 2 (0, 1) + 2x(y − 1)
(0, 1)
2
∂x
∂y
∂x∂y

p2 (x, y) = f (0, 1) + x

∂f
∂f
(0, 1) + (y − 1) (0, 1)
∂x
∂y
2
2
∂ 2f
1 2∂ f∂ f
(0, 1) + (y − 1)2 2 (0, 1) + 2x(y − 1)
(0, 1)
+
x
2
∂x2
∂y
∂x∂y
1
∂ 3f
∂ 3f
+ x3 3 (0, 1) + 3x2 (y − 1) 2 (0, 1)
6
∂x
∂x ∂y
3
∂ f
∂ 3f
+3x(y − 1)2
(0, 1) + (y − 1)3 3 (0, 1) .∂x∂y 2
∂y

p3 (x, y) = f (0, 1) + x

1

Matem´tica Aplicada a Farmacia. Grupo B
a

2

N´tese que
o
1 3 ∂ 3f
∂ 3f
x
(0, 1) + 3x2 (y − 1) 2 (0, 1)
6
∂x3
∂x ∂y
3
3
∂ f
∂ f+3x(y − 1)2
(0, 1) + (y − 1)3 3 (0, 1) .
∂x∂y 2
∂y

p3 (x, y) = p2 (x, y) +

2.

Descripci´n de los c´lculos
o
a

Obteniendo las derivadas parciales de f en (0, 1) que aparecen en lasecuaciones anteriores, se obtienen las expresiones de los mencionados polinomios
de Taylor,
1
p2 (x, y) = 1 − 2x2 − (y − 1)2 − 2x(y − 1)
2
1
p3 (x, y) = p2 (x, y) + x(y − 1)2 + (y − 1)3 .
2
Parailustrar la utilidad de estos polinomios, se analizan los valores de la
funci´n f y de sus polinomios de Taylor calculados. Para tal fin, se ha consio
derado una malla de pares de valores (xi , yj )pr´ximos al punto (0, 1), sobre
o
los que se han evaluado tanto la funci´n como los mencionados polinomios.
o
Los resultados obtenidos aparecen recogidos en un documento adjunto.
La malla de pares...