pintura-brocha

SOLUCION AL MODELO DE PINTURA-BROCHA

Introducción

En este trabajo se presentara un ejemplo aplicado de las ecuaciones de Navier-Stokes1, las cuales son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.
Estas ecuaciones se obtienen aplicando losprincipios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es másútil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.
Cuando μ (viscosidad dinámica) es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido se simplifican de la manera siguiente:

donde
ρ representa la densidad
 ui (i = 1,2,3) las componentes cartesianas de la velocidad
 Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo (como la gravedad)
 P la presión del fluido μ la viscosidad dinámica.















PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Un modelo de Pintura-Brocha

Cuando una brocha cargada con pintura es puesta en contacto con una pared rígida, algo de pintura es empujada por la brocha por fuerzas de fricción en la frontera rígida y permanece atrás en una capa cuyo espesor es rápidamente hecho uniforme por la acción de tensión superficial. Lacantidad de pintura dejada en la pared es una cuestión de importancia práctica, y es útil para saber cómo ésta cantidad depende de las propiedades de la pintura y de la brocha. El siguiente modelo simple de una brocha (el cual no tiene pretensiones de realismo) provee una idea gruesa de los factores relevantes, y sirve como un ejemplo de flujo estacionario unidireccional.



Suponemos que labrocha está compuesta de un número grande de platos delgados, rígidos, paralelos entre sí y equidistantes los cuales se deslizan juntos sobre una pared plana en la dirección de su línea de contacto con la pared (ver Figura). El espacio entre los platos está lleno con líquido, y a medida que los platos son empujados sobre la pared el líquido se pone en movimiento relativo a los platos debido aesfuerzos tangenciales en la pared. Para comenzar, suponemos que los platos son infinitos en las direcciones x y z, por lo que el movimiento resultante es unidireccional y estacionario. Si no se impone gradiente de presión, la ecuación gobernante es:


Es convenientes tomar los ejes fijos en los platos, en dicho caso las condiciones de frontera para el flujo en el canal entre dos platosadyacentes son:

u=0 en y=0 y y=b; 0 < z < 1
u=U=constante en z=0, 0 < y < b

donde U es la velocidad relativa entre la brocha y la pared.

Por otro lado, considere un gradiente de presión en el modelo, de tal forma que se tendrá el modelo modificado:






OBJETIVOS

a) Resolver analíticamente sin considerar gradiente de presión.
b) Encontrar un estimado delespesor de la capa de líquido que será dejado atrás en la pared si todos los platos fueran imaginados a tener un lado trasero al mismo valor x.
c) Resolver analíticamente el modelo, considerando un gradiente de presión variando la viscosidad dinámica: µ > 1; µ = 1 y µ < 1

A. SOLUCION A LA ECUACIÓN HOMOGÉNEA

EDP: 
C.F: 
C.I: 

Suponemos soluciones de variables separadas, es decir:
Reemplazando en la EDP:


Ordenando variables:
⇒ 

Observemos que se obtuvo una identidad entre una función puramente de Y y una función puramente de Z; como Y y Z son variables independientes, la identidad anterior es absurda a menos que:

1)  2)  
Así, hemos reducido una EDP a 2 EDO’s....