Plasma.

Sea un gas de metano degenerado (esto es, alejado de la aproximación clásica de la estadística de Maxwell-Boltzmann y, por tanto, donde tiene relevancia la distinción entre fermiones y bosones). Consideramos que los únicos grados de libertad son traslacionales.
El número medio de partículas en un estado cuántico (o número de ocupación) viene dado por:
[1]
Donde siendo la constante deBoltzmann.
Esta función vale infinito cuando el argumento de la exponencial vale cero y cae rápidamente. Esto es debido a que los bosones no cumplen el principio de exclusión de Pauli y por tanto puede haber infinidad de ellos en el mismo estado cuántico individual.

Si el sistema tiene partículas, entonces debe cumplirse que la suma de todas las partículas que se encuentren en cada estado cuánticodebe dar el total.
[2]
Si el sistema es cerrado, la relación [2] nos sirve para definir el potencial químico .
Supongamos además que el mínimo nivel de energía accesible a una partícula es . Esto es admisible ya que coincide con el menor valor de la energía que puede tener un gas de partículas con grados traslacionales de libertad.
Esta imposición obliga a que . De no ser así, entonceshabría estados cuya energía sería menor que el potencial químico y resultaría que los números medios de ocupación serían una cantidad negativa lo cual no es posible.
Supongamos que la diferencia entre dos niveles consecutivos de energía es tan pequeña que podemos cambiar el sumatorio por una integral.
Conviene separar el cálculo del número total de partículas en dos partes, una que de cuenta deaquellas cuyo valor de la energía es el propio del estado fundamental, y otro distinta de cero, estados excitados. De no hacerlo llegaríamos a una contradicción, como veremos.

El número de partículas cuya energía es distinta de cero viene dada por la siguiente expresión, donde es la distribución de probabilidad que nos dice cuantas partículas tienen su energía comprendida entre .

Se puededemostrar que la distribución de probabilidades viene dada por:

Siendo el grado de degeneración, el volumen del sistema, la constante de Planck, la masa de los bosones y la energía.
De tal manera que,

Haciendo el cambio de variable se tiene:

Utilizando que:
para x > 1.
Donde es la función Gamma de Euler, es la función zeta de Riemann y que es la longitud de onda de De'Broglie:Se llega a que:

De modo que:
[3]
Es el número máximo de partículas que el sistema puede tener a una temperatura dada en los estados excitados. Lo llamaremos .
Esto nos permite definir la llamada temperatura de Bose, o temperatura crítica, en la cual: . La función de Riemman está acotada: , así:

Siendo una relación de igualdad el caso límite o crítico. Ese caso límite se da a latemperatura crítica :
Si hubiéramos tomado únicamente la expresión [3], tendríamos que:

Lo cual haría que en no pudiera existir un gas de bosones, lo cual contradice la experiencia. Por eso hemos dividido el cálculo en dos partes.
Si dividimos la ecuación [3] por la densidad total del sistema obtenemos que:

A temperaturas mucho mayores que , este cociente es mayor que la unidad. Eso significa quenuestro sistema admite más bosones en los estados excitados de los que tenemos actualmente.
A temperaturas menores que el cociente es menor que la unidad. Eso significa que muchas de las partículas constituyentes de nuestro sistema se han ido al estado fundamental al no poder haber tantas en los estados excitados.

Es el otro sumando, el número de partículas en el estado fundamental. En severifica que de modo que:

Aquí vemos como cuando , . Es decir, los bosones se agrupan en el estado fundamental.
Este fenómeno se conoce como condensación de Bose-Einstein. La denominación puede inducir a error pues no se trata de una condensación como un gas normal. Cuando un gas ideal clásico cambia de estado gaseoso a líquido decimos que se condensa, en ese caso disminuye su volumen (o...