Poder

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

Introducci´n a las ecuaciones
o
diferenciales ordinarias

Ram´n Bruzual
o
Marisela Dom´
ınguez

Caracas, Venezuela
Septiembre 2005

Ram´n Bruzual
o
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´
ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio deFormas en Grupos
Centro de An´lisis
a
Escuela de Matem´tica
a
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Nota: Este material est´ disponible en la p´gina web
a
a
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´plica en un servidor externo a la Universidad Central de
e
Venezuela, el v´
ınculo se encuentra indicado enesa misma p´gina web.
a

Pr´logo
o

Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Ecuaciones Diferenciales, del curso de Matem´tica III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Vea
nezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´ Geoqu´
ıa,
ımica,
Qu´
ımica, Computaci´n, F´
o
ısica y Matem´tica.
a
El trabajo demecanograf´ y la elaboraci´n de los gr´ficos est´ a cargo de los autores.
ıa
o
a
a
Agradecemos cualquier observaci´n o comentario que deseen hacernos llegar.
o
Ram´n Bruzual.
o
Marisela Dom´
ınguez.
Septiembre 2005.

iii

CONTENIDO
Cap´
ıtulo 1. Conceptos b´sicos y ecuaciones diferenciales de primer orden.
a

1

1. Motivaci´n.
o

1

2. Conceptos b´sicos
a

3

3.Ecuaciones con variables separables y aplicaciones.

4

4. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones con variables separables.

12

5. Ecuaci´n lineal de primer orden.
o

17

6. Ecuaci´n de Bernoulli.
o

19

7. Aplicaciones

20

Ejercicios.
Nociones b´sicas y ecuaciones diferenciales de primer orden.
a

27

Cap´
ıtulo 2. Ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden concoeficientes constantes.

35

1. Soluci´n general de la ecuaci´n homog´nea.
o
o
e

35

2. Soluci´n general de la ecuaci´n no homog´nea.
o
o
e

37

3. Aplicaciones

41

Ejercicios.
Ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden con coeficientes constantes.
Cap´
ıtulo 3. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden.

46
49

1. Motivaci´n.
o

49

2. Elm´todo de eliminaci´n.
e
o

52

3. Competencia e interacci´n entre especies.
o

57

4. Las ecuaciones predador-presa de Lotka y Volterra.

61

5. Secci´n optativa: Uso del computador
o
para resolver y analizar ecuaciones diferenciales.

63

Ejercicios.
Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden.
v

65

vi

CONTENIDO

Bibliograf´
ıa

67

´
Indice

69CAP´
ITULO 1

Conceptos b´sicos y ecuaciones diferenciales de primer orden.
a
Este cap´
ıtulo es un repaso de cursos previos.
Resoluci´n de ecuaciones diferenciales de primer orden. Revisi´n de los
o
o
m´todos ya estudiados anteriormente. Ecuaciones con variables separables
e
y reducibles a ´stas.
e
Aplicaciones de la ecuaci´n diferencial de primer orden: Crecimiento de
opoblaciones (exponencial, log´
ıstico, limitado). Epidemias. Desintegraci´n
o
radioactiva. Enfriamiento.

1. Motivaci´n.
o

La filosof´ [la naturaleza] est´ escrita en ese gran libro que siempre est´ ante
ıa
a
a
nuestros ojos -el universo- pero no lo podemos entender si no aprendemos
primero el lenguaje y comprendemos los s´
ımbolos en los que est´ escrito. El
a
libro est´ escrito en lenguajematem´tico y los s´
a
a
ımbolos son tri´ngulos, c´
a
ırculos
y otras figuras geom´tricas, sin cuya ayuda es imposible comprender una sola
e
palabra; sin ello, uno vaga en un obscuro laberinto.
Galileo Galilei (1564-1642).

La cita anterior ilustra la creencia, popular en la ´poca de Galileo, de que buena parte
e
del conocimiento de la naturaleza pod´ reducirse a matem´tica. Al final...