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I. TEORÍA DE ERROR


Cuando se resuelve un problema matemático por medio de una calculadora, estamos conscientes de que los números decimales que calculamos quizá no sean exactos. Estos números se redondean cuando los registramos. Aun cuando los números no se redondean de manera intencional, el número limitado de dígitos de la calculadora puede provocar error de redondeo.

En unacomputadora, los errores de redondeo aparecen por las mismas razones y afectan los resultados de los cálculos; haciendo que los resultados de los cálculos carezcan por completo de sentido. Es muy importante aprender algunos aspectos básicos de las operaciones aritméticas en las computadoras y comprender bajo qué circunstancias pueden ocurrir severos errores de redondeo. Muchos de los problemas deerror por redondeo se pueden evitar por medio de prácticas de programación adecuada; además, de otros tipos de errores que se verán en este capítulo.


1.1 ARITMÉTICA DE PUNTO FIJO Y PUNTO FLOTANTE

Las operaciones aritméticas con número en base r (un número de base r contiene los dígitos 0, 1, 2,..., r-1) siguen las mismas reglas que los números decimales. Cuando se usa una base que no seala 10 tan familiar, se debe tener cuidado de emplear sólo r dígitos admisibles y realizar todos los cálculos con dígitos de base r.

Los complementos se utilizan en las computadoras digitales para simplificar la operación de sustracción o resta y para la manipulación lógica. Existen dos tipos de complementos para cada sistema de base r:

1. El complemento radical, y
2. El complementoradical disminuido

El primero se conoce como el complemento a r’s y el segundo como el complemento a (r-1)’s. Cuando el valor de la base se sustituye en el nombre, los dos tipos se conocen como complemento a 2’s y a 1’s para números binarios y a 10’s y a 9’s para números decimales.





COMPLEMENTO RADICAL DISMINUIDO

Dado un número N de base r que tiene n dígito, el complemento a(r-1)’s de N se define (rn - 1) - N
Para números decimales, r =10 y r-1 = 9; de este modo el complemento a 9’s de N es (10n - 1) - N. Ahora,


10n representa un número que consta de un 1 seguido de n ceros.
10n -1 es un número representado por n nueve.

Por ejemplo, si n = 4, se tiene 10n = 104 = 10000
10n -1 = 9999

se deduce que el complemento a 9’s de un número decimal seobtiene restando cada dígito a 9. Encontrar el complemento a 9’s de los siguientes números:

Decimal
Operación
CA 9’s
-546700
999999 -546700
453299
-12389
99999 -12389
87610
-125
999 - 125
874
-450
999 - 450
549
-733
999 - 733
266

Teniendo la representación de los números negativos en complemento a 9’s, solamente se haría laoperación de suma de los números. Por ejemplo:


725
- 307
Complemento a 9’s


999
- 307
( 692)9
Complemento a 10’s
1
725
+ 692
417
1
- 418

325
- 784
Complemento a 9’s

999
- 784
( 215)9

325
+ 215
540

Complemento a 9’s

999
- 540
- 459






En el casode números binarios, r = 2 y r-1=1, de este modo el complemento a 1’s de N es (2n -1) - N. Una vez más

2n representa por medio de un número binario que consta de un 1 seguido de n ceros.
2n -1 es un número binario representado por n unos.

Por ejemplo, si n = 4 , se tiene que
2n = (10000)2
2n -1 = (1111) 2

Por lo tanto, el complemento a 1’s de un número binario seobtiene restando cada dígito de 1. Sin embargo, cuando se restan dígitos binarios de 1, se puede tener
1 - 0 = 1 ó 1 - 1 = 0; lo que hace que el bit cambie de 0 a 1 o bien de 1 a 0. En consecuencia, el complemento a 1’s de un número binario se forma combinando unos por ceros y ceros por uno.

El complemento a 1’s de 1011001, es 0100110
El complemento a 1’s de 0001111, es 1110000...