potenciacion

Potenciación
Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el expone
La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente alexponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser unnúmero entero o cero.
Exponente entero
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:

Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación de potencias de igual baseEl producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

 

Ejemplos:

Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

 Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como .
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

 


Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

  si n es par.
si n es impar.Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se denota por y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:

Observación

División de potencias de igual base
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el deldivisor,1 esto es:

  

De forma extendida aparecen 3 casos:

Ejemplo:

Potencia de exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:2 3

El caso particular de , en principio, no está definido.
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente. 

O de forma extendida:


Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2)como valor numérico:


Exponente racional
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que , pero se ha degarantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:

Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:

Observación

En general para las fracciones se define que:

Relación

 Propiedades



Exponente real
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:

Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión que se escribe como:

Nótese que las sucesivas aproximaciones de ab tienen como...