practica variables de estado

PRACTICA NUM. 7 (VARIABLES DE ESTADO)
MARCO TEORICO
REPRESENTACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS POR VARIABLES DE ESTADO.
Introducción al concepto de estado
Se han presentado los métodos de descripción de un sistema lineal mediante ecuaciones diferenciales, función de transferencia, diagrama de bloques y diagramas de flujo (grafo de fluencia9. Una característica importante de este tipo derepresentaciones es que la dinámica del sistema está descrita por las relaciones entrada-salida. Por ejemplo, la función de transferencia describe la relación salida-entrada en el dominio de la Transformada de Laplace. Sin embargo, el método de la transformación adolece de la desventaja de que todas las condiciones iniciales del sistema se desprecian, ya que es una representación en estado estable opermanente. Por consiguiente, cuando se está interesado en una solución en el dominio del tiempo que dependa mucho de la historia pasada del sistema, la función de transferencia no nos facilitará toda la información necesaria. La función de transferencia es valiosa para el análisis y proyecto en el dominio de la frecuencia, así como en los estudios de estabilidad. La mayor ventaja de la función detransferencia estriba en la facilidad con que puede obtenerse información cualitativa del sistema a partir de los polos y ceros de la función de transferencia.
Una alternativa al método de la función de transferencia para describir los sistemas lineales es el método de la variable de estado. La variable de estado no está limitada a sistemas invariantes en el tiempo. Puede aplicarse tanto a sistemas nolineales como a sistemas variantes en el tiempo.
El método de la variable de estado se denomina a menudo de enfoque moderno. Sin embargo, en realidad, las ecuaciones de estado son simplemente ecuaciones diferenciales de primer orden, que los físicos y los matemáticos han usado durante muchos años para la caracterización de sistemas dinámicos.
Para empezar con el enfoque de la variable de estado,hemos de partir en primer lugar por definir el estado de un sistema. Como indica la palabra, el estado de un sistema se refiere a las condiciones del sistema en el pasado, presente y futuro. Resulta interesante observar que un ejemplo fácilmente comprensible es el discurso sobre “EL ESTADO DE LA UNION” que cada año pronuncia el presidente de los Estados Unidos de América. En este caso, el sistemacompleto abarca todos los elementos del gobierno, sociedad, economía, etc. En general, el estado puede describirse por un CONJUNTO DE CIFRAS, UNA CURVA, UNA ECUACIÓN, O ALGO QUE SEA DE NATURALEZA MÁS ABSTRACTA. Desde el punto de vista material resulta conveniente definir un CONJUNTO DE VARIABLES DE ESTADO Y ECUACIONES DE ESTADO PARA REPRESENTAR SISTEMAS. Existen algunas reglas generales básicascorrespondientes a la definición de variables de estado y que constituyen una ecuación de estado. Vamos a considerar que se escoge el conjunto de variables, x1(t), x2(t), …….., xn(t) para describir las características dinámicas de un sistema y definiéndolas como variables de estado del sistema. Entonces estas variables de estado deben satisfacer las siguientes condiciones:
En cualquier instantet= t0 , las variables de estado x1(t0), x2(t0), …….., xn(t0) definen los estados iniciales del sistema con el instante seleccionado.
Una vez especificadas las entradas del sistema para t ≥ t_0 y los estados iniciales definidos anteriormente, las variables de estado definirán por completo el comportamiento futuro del sistema.
Por consiguiente, podemos definir las variables de estado como:
“LASVARIABLES DE ESTADO DE UN SISTEMA SE DEFINEN COMO EL CONJUNTO MÍNIMO DE AQUELLAS VARIABLES x1(t), x2(t), …….., xn(t) CUYO CONOCIMIENTO EN CUALQUIER INSTANTE t0 , MÁS LA INFORMACIÓN SOBRE LA EXCITACIÓN DE ENTRADA APLICADA POSTERIORMENTE, SEA SUFICIENTE PARA DETERMINAR EL ESTADO DEL SISTEMA EN CUALQUIER INSTANTE t > t0 “.
No deben confundirse las variables de estado con las...