Presentacion_Navier_Stokes

Introducci´
on
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad

Las ecuaciones de Navier-Stokes I
Diego C´ordoba
Consejo Superior de Investigaciones Cient´ıficas

Instituto de Ciencias Matem´aticas

Diego C´
ordoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes I

Introducci´
on
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad

¿Qu´
e es un fluido?
El modelo matem´
atico

Olas, tornados,plasma

Diego C´
ordoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes I

Introducci´
on
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad

¿Qu´
e es un fluido?
El modelo matem´
atico

¿Qu´e es un fluido?

Aquella sustancia que, debido a su poca cohesi´on
intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del
recipiente que lo contiene.

Diego C´
ordoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes IIntroducci´
on
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad

¿Qu´
e es un fluido?
El modelo matem´
atico

¿Qu´e es un fluido?

Aquella sustancia que, debido a su poca cohesi´on
intermolecular, carece de forma propia y adopta la forma del
recipiente que lo contiene.
� L´
ıquido, gas y plasma.

Diego C´
ordoba

Las ecuaciones de Navier-Stokes I

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Las ecuaciones de Navier-StokesSingularidades
Vorticidad

¿Qu´
e es un fluido?
El modelo matem´
atico

El medio continuo

Arist´oteles:
El continuo puede ser definido como aquello que
es divisible en partes que, a su vez, pueden ser
divididas, y as´ı hasta el infinito.

Diego C´
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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad

Las ecuaciones de los fluidos
Ladescripci´on matem´atica
de un fluido requiere
�

D es un dominio de R3 (R2 )

�

x ∈ D es una part´ıcula del fluido

�

ρ(x, t) es la densidad del fluido en el punto x en el instante t

�

u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t)) nos da la velocidad que tendr´ıa
una part´ıcula en cada punto x del espacio y cada tiempo t,

�

p = p(x, t) es la presi´on en el seno del fluido.

Diego C´
ordobaLas ecuaciones de Navier-Stokes I

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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad

Euler y Lagrange (siglo XVIII)

Leonhard Euler (1707-1783)

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

Diego C´
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Singularidades
Vorticidad

Formulaci´on euleriana

u(x, t) = (u1 (x, t), u2 (x, t), u3 (x, t))Diego C´
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Singularidades
Vorticidad

Formulaci´on lagrangiana

x = x(a, t) es la trayectoria de la part´ıcula que est´a en
posici´on a en tiempo t = 0.
Diego C´
ordoba

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Las ecuaciones de Navier-Stokes
Singularidades
Vorticidad

Euler y Lagrange (siglo XVIII)Relaci´on entre las dos:
dx
= u(x, t)
dt

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Singularidades
Vorticidad

Terminolog´ıa

∂u1 ∂u2 ∂u3
div(u) =
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
rot(u) =

� ∂u

�
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u
3
2
1
3
2
1
−
,
−
,
−
∂x2
∂x3 ∂x3
∂x1 ∂x1
∂x2

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Las ecuaciones de Navier-StokesSingularidades
Vorticidad

Incompresibilidad
�

div(u) > 0

�

div(u) < 0

Incompresibilidad → div(u) = 0
Conservaci´on del volumen (con ρ constante, conservaci´on de
la masa).
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Singularidades
Vorticidad

Conservaci´on del momento

Para la velocidad de la part´ıcula u(x(a, t), t),
aceleraci´on :

d∂u
dx
∂u
u(x(a, t), t) =
+∇x u·
=
+u·∇x u
dt
∂t
dt
∂t

As´ı que
�
�
∂u
ρ
+ u · ∇x u = Finternas + Fexternas
∂t

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Singularidades
Vorticidad

Las ecuaciones de Navier-Stokes
La segunda ley de Newton, la conservaci´on de masa junto con
la incompresibilidad dan lugar a las ecuaciones de
Navier-Stokes:...