PrincipiosGraficacion

SECCIÓN 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS

; 24. Un estudio que realizó la U.S. Office of Science and Technology
(Oficina de Ciencia y Tecnología de Estados Unidos) en 1972
estimó el costo (en dólares de 1972) de reducir el costo de las
emisiones de vehículos automotores en ciertos porcentajes:

45
55
62
70
80

75
80
85
90
95

netas al Sol (suponiendo que la unidad de medida esla distancia de la Tierra al Sol) y sus periodos T (tiempo de revolución
en años).

Años

Población
(millones)

1900
1910
1920
1930
1940
1950

1 650
1 750
1 860
2 070
2 300
2 560

Años

Población
(millones)

1960
1970
1980
1990
2000

3 040
3 710
4 450
5 280
6 080

1.3

Planeta

90
100
200
375
600

Encuentre un modelo que capte la tendencia de “rendimientos
decrecientes” de esta información.
; 25.Utilice la información que aparece en la tabla para modelar la
población del mundo en el siglo XX por medio de una función cúbica. Utilice enseguida su modelo para estimar la población en el
año 1925.

37

; 26. La tabla muestra las distancias medias (promedio) d de los pla-

Reducción de Costo por vehículo Reducción de Costo por vehículo
emisiones (%)
(en dólares)
emisiones (%)
(en dólares)

5055
60
65
70

||||

d

T

Mercurio

0.387

Venus

0.723

0.241
0.615

Tierra

1.000

1.000

Marte

1.523

1.881

Júpiter

5.203

11.861

Saturno

9.541

29.457

Urano

19.190

84.008

Neptuno

30.086

164.784

(a) Haga que un modelo de potencias coincida con la
información.
(b) La tercera ley de Kepler del movimiento planetario establece que
“El cuadrado del periodo de revolución de un planeta esproporcional al cubo de su distancia media
respecto del Sol.”
¿El modelo que formuló corrobora la tercera ley de
Kepler?

FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS
Esta sección inicia con las funciones básicas analizadas en la sección 1.2 para obtener
funciones nuevas mediante el desplazamiento, el alargamiento y la reflexión de sus gráficas. También es mostrará cómo combinar pares defunciones por medio de operaciones
aritméticas estándar o por composición.
TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES

Al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada, puede obtener las gráficas de ciertas funciones relacionadas. Esto le proporcionará la habilidad para trazar a mano las gráficas de muchas funciones. Además le permitirá escribir ecuaciones para gráficas
conocidas. En primer lugar,se considera las traslaciones. Si c es un número positivo, entonces la gráfica de y ෇ f ͑x͒ ϩ c es precisamente la de y ෇ f ͑x͒ desplazada hacia arriba una
distancia de c unidades (ya que a cada coordenada y se incrementa el mismo número c). Del
mismo modo, si t͑x͒ ෇ f ͑x Ϫ c͒, donde c Ͼ 0, entonces el valor de t en x es el mismo
que el valor de f en x Ϫ c (c unidades a la izquierda de x). Enconsecuencia, la gráfica de
y ෇ f ͑x Ϫ c͒ es precisamente la de y ෇ f ͑x͒ desplazada c unidades a la derecha (véase la
figura 1).
DESPLAZAMIENTOS VERTICALES Y HORIZONTALES Suponga que c Ͼ 0. Para obtener la

gráfica de
y ෇ f͑x͒ ϩ c, se desplaza la gráfica de y ෇ f͑x͒ una distancia de c unidades hacia arriba
y ෇ f͑x͒ Ϫ c, se desplaza la gráfica de y ෇ f͑x͒ una distancia de c unidades hacia abajo
y ෇f͑x Ϫ c͒, se desplaza la gráfica de y ෇ f͑x͒ una distancia de c unidades hacia la derecha
y ෇ f͑x ϩ c͒, se desplaza la gráfica de y ෇ f͑x͒ una distancia de c unidades hacia la izquierda

38

||||

CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS

y

y

y=ƒ+c

y=f(x+c)

c

y=cƒ
(c>1)

y=f(_x)

y=f(x-c)

y =ƒ

y=ƒ
c
0

y= 1c ƒ

c
x

c

x

0

y=ƒ-c
y=_ƒ

FIGURA 1

FIGURA 2

Traslación de la gráfica de f

Alargamiento yreflexión de la gráfica de f

Considere ahora las transformaciones de alargamiento y reflexión. Si c Ͼ 1, entonces
la gráfica de y ෇ cf ͑x͒ es la de y ෇ f ͑x͒ alargada en el factor c en la dirección vertical
(porque cada coordenada y se multiplica por el mismo número c) La gráfica de y ෇ Ϫf ͑x͒ es
la de y ෇ f ͑x͒ reflejada respecto al eje x, porque el punto ͑x, y͒ reemplaza al punto ͑x, Ϫy͒....