Problemas resueltos

Aplicaciones de la
Integral
Volúmenes
Longitudes de Arco
Áreas de Superficies

Longitudes, áreas y volúmenes.
Problemas resueltos.

Resumen de Fórmulas
t2

Volúmenes por
secciones

V  At dt , At= área de la
sección

t1

b

Longitud
de arco

2

  dx

l   1  f x
a

Longitud de una curva
en paramétricas

t2

2

t dt
  y

l   x t
t1

b

Área de un cuerpo de revolución

2



A 2f x
a

Longitudes, áreas y volúmenes.
Problemas resueltos.

2

  dx

1  f x

Resumen de Fórmulas
Área limitada por la gráfica de una
función y el eje X.
Área entre las gráficas de las
funciones f(x) y g(x)

b



A  f x dx
a

b

 

A  f x  g x dx
a

b

Volumen de un cuerpo de revolución

2

  dx

V   f x
a

Volumen de un cuerpo de revolución
haciendo girar el área entre dosgráficas
f y g positivas alrededor del eje X

b

a



V 2 x f x dx
a

Longitudes, áreas y volúmenes.
Problemas resueltos.

2

   g x  dx

V   f x
b

Volumen por conchas

2

Listado de Problemas
1

2

3

4
5

6

1/2

La parte inferior de un sombrero es un disco de radio r con
centro en el origen. Cada intersección del sombrero con un
plano perpendicular al eje x es un semicírculo. Calcularel
volumen del sombrero.
Calcular el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al
girar el área que encierra la gráfica de la función f(x) = x
− x2 y el eje X, sobre dicho eje.
Calcular el volumen
obtiene al girar la
del eje Y.
Calcular el volumen
girando el círculo

del cuerpo de revolución que se
función del Problema2 alrededor
del cuerpo de revolución que se obtiene
(x − 2)2 + y2 =1alrededor del eje X.

Calcular el volumen de un casquete de la pelota de
ecuación
x2 + y2 + z2 ≤ r2 que se encuentra por encima del
plano
Calcular el volumen de la intersección entre
z=r cilíndros
− h.
los
x2 + z2 ≤ 1 y
y2 + z2 ≤1.
Longitudes, áreas y volúmenes.
Problemas resueltos.

Listado de Problemas 2/2
7

Determinar la longitud del arco de la gráfica
función cosh(x) en el intervalo [-1,1].

dela

8

 ex  1
Calcular la longitud de la curva y  ln  x  ,1  x  2.
 e  1

9

Calcular la longitud de la curva
x

y 
10
11
12



t 4  1 dt ,1  x  3.
2
3

1

2
3

Calcular la longitud de la curva x  y  1.
Calcular el área de la superficie obtenida al girar la
curva
y = x3,
0 ≤ x ≤ 1, alrededor del eje X.

Calcular el área de la superficie obtenida al girar y 
alrededor del eje X.Longitudes, áreas y volúmenes.
Problemas resueltos.

x 2  1, 0  x  1,

Cálculo de volúmenes
Problema
1

La parte inferior de un sombrero es un
disco de radio r con centro en el origen.
Cada intersección del sombrero con un plano
perpendicular al eje x es un semicírculo.
Calcular el volumen del sombrero.

Este sombrero es una semiesfera de radio r. Por
lo tanto el volumen es la mitad del deuna esfera
de el
radio
r
Para calcular
volumen
del sombrero por
x
integración, cortamos con planos
perpendiculares al eje x como se indica en
la sección
imagen. es un semicírculo de radio
La
Solución

(r2-x2) ½.
A(x)=

El área de dicha sección es

π(r2-x2)/2.
r

Conclusión

 r  x

V 
r



2

2

2

dx

2

r

r x  x 
2 r 3


 
2
2 3  r
3

Longitudes, áreas y volúmenes.
Problemasresueltos.

3

Cálculo de volúmenes
Problema
2
Solución

Calcular el volumen del cuerpo de
revolución que se obtiene al girar el área
que encierra la gráfica de la función f(x)
= x − x2 y el eje X, sobre dicho eje
El dibujo muestra la función y el cuerpo de
revolución.

El volumen se puede
calcular directamente
con la fórmula. Los
límites de integración
se obtienen resolviendo
la ecuación x – x2 = 0.1

Conclusión



Para integrar desarrollamos el
1
producto
5
4
3

V   x  x
0

2

2



x x x 



dx 
 
5
2
3  0 30

Longitudes, áreas y volúmenes.
Problemas resueltos.

Cálculo de volúmenes
Problema
3

Calcular el volumen del cuerpo de revolución
obtenido al girar la función del Problema 2
alrededor del eje Y.

Solución 1

Podemos calcular el volumen de dos
maneras: con la...