Problemas resueltos

Problemas resueltos de
áreas e integrales definidas

Propiedades Básicas de las Integrales
Durante está sección vamos a suponer que todas las funciones son
continuas en un intervalo cerrado I = [a,b]. En lo que sigue, r es un
número real y tanto f como g son funciones.
Propiedades
Propiedades Básicas
Básicas de
de las
las Integrales
Integrales
c

11

 f  x  dx  0

33

a

b

c

b

 f  x dx   f  x  dx   f  x  dx
a

55

a

 f  x  dx   f  x  dx

22

c

b

b

a

44

c

b

b

b

a

a

a

b

b

a

a

 r f  x  dx  r  f  x  dx

  f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx

Estas propiedades se obtienen de la definición de integral como límite de
sumas de Riemann.

Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemasresueltos

Tabla de Primitivas
x r 1
 x dx  r  1  C,
r  1
r

11

33

 k dx  kx  C, k  ¡

44

 s e n  x  dx   cos  x   C
e

66

x

dx  e x  C

x 0
dx
 ln  x   C1

 x  ln   x   C2 x  0
dx
Abreviando:
 x  ln x  C

22

55
77
99

 cos  x  dx  s e n  x   C
ax
 a dx  ln  a   C, a  0, a  1
dx
 1  x 2  arcs e n  x   C
x

dx
 cos2 x  tan x  C88

dx
10
 1  x 2  arctan  x   C 10

10
10

  a f  x   b g  x   dx  a  f  x  dx  b  g  x  dx, a, b  R

Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Teorema Fundamental del Cálculo
Teorema
Teorema

Si f una función continua entonces la función
x

F  x    f  t  dt
a

es una primitiva de la función f, es decir, F’(x)= f(x).
Recíprocamente, si F es cualquier primitiva de f,
b

 f  x  dx  F  b   F  a .
a

Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Problemas
11

Hallar, utilizando la definición, el área encerrada por la gráfica
de la función y = x3 y el eje X entre 0  x  2.

22

k2
Calcular el límite lim  3 , interpretándolo como el área
n k 1 n
n

de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área
de dicha figura.

2

33

Hallar las sumas de Riemann para la integral

 sin  x  dx
0

con 5 subintervalos y tomando en cada subintervalo el
extremo izquierdo, el punto medio y el extremo derecho
respectivamente.
n

44

Expresar el limite lim 
n 

k 1

n2  k 2
como una integral.
n2

Integración/Introducción a laintegración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Problemas
55

Demostrar que 1 

1



1  x 2 dx  2.

0

x2

66

Dada F  x  = 
x

s en t 
t

dt. Hallar F   x  .
1

77

¿ Qué es incorrecto en el cálculo de
1

1
1 x 2 dx 

x 2 1 
2
1 x dx  2  1 
1

1

1

1
 
x

dx
1 x 2 ?

1


1
x2

88

Sea f una función continua tal que
Determinar f(1).

1 
1
    2.
1 
1

 f  t  dt  e

 x2

.

0

Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Problemas
11

Hallar, utilizando la
definición, el área encerrada
por la gráfica de la función y
= x3 y el eje X entre 0  x 
2.

Solución
Solución

Aproximación del área por exceso:

Evaluamos x3 en el extremo derecho del
subintervalo k .

3

 2k2

 n  n.

k 1 
n

Longitud de los
subintervalos.

3
4
3
2
 2k 2 16 n 3  16  n  n  n 

Suma superior = 
4 
 n  n4  k
n
4
2
4
n



k 1 
k 1
8 4
4.
 4   2   n
Respuesta
El área es 4.
Respuesta
n n
n

Integración/Introducción a la integración/Integral definida y cálculo de áreas/Problemas resueltos

Problemas
k2
Calcular el límite lim  3 , interpretándolo como elárea
n 
k 1 n
n

22

de una figura geométrica conocida y hallando entonces el área
de dicha figura.
Debemos relacionar la suma dada con una suma
aproximada del área encerrada por la gráfica de una
función.
2
n
n
k2
 k 1
.
Se observa que:  3    
n
n
n

k 1
k 1 
Solución
Solución

De esta manera resulta obvio que la suma
aproxima el área encerrada por la gráfica de
x2 para 0  x ...