Producto Interno

Cambio de Base, Producto Interno y ´ Ortogonalizacion
Prof. Derwis Rivas
Apuntes del Postgrado en Ingenier´a ı

10 Junio 2008

Derwis Rivas

Algebra Lineal

Espacios con Producto Interno´ Definicion (Producto Interno Real) Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo de los numeros ´ ´ reales. Un producto interno real en V es una funcion que asocia a cada pareja de vectores u, v en V, un numero real ´ u, v que verifica las siguientes propiedades:
1 2 3 4

u, v = v, u u + v, w = u, w + v, w αu, v = α u, v ´ u, u ≥ 0 y u, u = 0 si y solo si u = 0

En este caso se dice que V esun espacio con producto interno.

Derwis Rivas

Algebra Lineal

Ejemplo El espacio IR2 es un espacio con producto interno, ya que la ´ funcion ·, · : IR2 → IR definida por u, v = a1 b1 + a2 b2donde u = (a1 , a2 ) y v = (b1 , b2 ) define un producto interno en IR2 . Ejemplo El espacio de las funciones continuas en un intervalo [a, b] es ´ un espacio con producto interno ya que la aplicacionb

f,g =
a

f (x)g(x)dx

define un producto interno en C[a, b].
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´ Definicion (Ortogonalidad) Sean u, v dos vectores en un espacio V con producto interno. Diremosque u y v son ortogonales si u, v = 0. Por otro lado, diremos que un conjunto de vectores no nulos {v1 , v2 , ..., vn } en un espacio V con producto interno es ortogonal si vi , vj = 0 para todo i =j. Ejemplo Demuestra que las funciones f (x) = x y g(x) = 3x − 2 en el intervalo [0, 1] son ortogonales.

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´ Definicion Si S es un conjunto ortogonal de vectores nonulos en un espacio con producto interno, entonces S es linealmente independiente. Ejemplo El conjunto S = {1, cos(nx), sen(mx)} con n = 1, 2, ... y m = 1, 2, ... es una base ortogonal del espacio Cp[−π, π]. Donde Cp [−π, π] es el espacio de funciones continuas y ´ periodicas de periodo 2π.

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´ Definicion Sea V un espacio con producto interno. La norma de un...