Progrsiones

INTRO. EST. DE LAS PROGRESIONES Las progresiones constituyen el ejemplo más sencillo del concepto de sucesión. Desde los albores de la historia de las matemáticas se han estudiado sus propiedades, y éstas han sido aplicadas, sobre todo, a la aritmética comercial. El estudio de las progresiones aritméticas es paralelo al de las geométricas por cuanto las propiedades de estas últimas emanan de lasprimeras sin más que convertir las sumas en productos, diferencias en cocientes, y el producto por un número natural en una potencia de exponente natural.

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; El origen de las progresiones, al igual que el de tantas otras ramas de las matemáticas, es incierto. No obstante, se conservan algunos documentos que atestiguan la presencia de progresiones varios siglosantes de nuestra era, por lo que no se debe atribuir su paternidad a ningún matemático concreto. Es conocido el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero a un determinado interés compuesto, propuesto por los babilonios (2000 a.C. − 600 a.C.), lo cual hace pensar que conocían de alguna manera la fórmula del interés compuesto y, por tanto, las progresiones geométricas. Enel libro IX de Los Elementos de Euclides aparece escrita una fórmula, semejante a la actual, de la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica. Bhaskara, matemático hindú del siglo XII, plantea en su más conocida obra, el Lilavati , diversos problemas sobre progresiones aritméticas y geométricas. SUCESIONES Se entenderá por sucesión una colección de números dispuestos uno acontinuación de otro. Sirvan de ejemplo:

b) −1, 3, 7, 11, 15... c) 3, 6, 12, 24, 48... En el primero no es posible averiguar qué número seguiría a 13 (no se encuentra una regla que indique la relación entre los términos). En el segundo, a 15 le seguirían 19, 23, 27... (cada término es cuatro unidades mayor que el anterior). En el tercero, al término quinto, que es 48, le seguiría 96 (cada término esel doble del anterior). Cuando se habla de una sucesión cualquiera, la forma más usual de referirse a ella es escribir a1, a2, a3, a4, ..., an − 2 , an − 1 , an , ... donde los subíndices determinan el lugar que cada término ocupa dentro de la sucesión, y los puntos suspensivos evitan la necesidad de escribir todos los números. Es también frecuente encontrar una sucesión simbolizada por (an)nN, osimplemente (an). Término general de una sucesión

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El término general de una sucesión es una fórmula que permite conocer el valor de un determinado término si se conoce previamente el lugar que ocupa en la misma. Por costumbre, al término general de una sucesión se le denota por an y se hablará de término n−ésimo. De entre los muchos ejemplos que se podrían citar, valgan los siguientes:Ejercicio: determinación de términos de una sucesión

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Resolución:

Escribir los seis primeros términos de la sucesión an = 3 · 2n − 1 Resolución: a1 = 3 · 21 − 1 = 3 · 1 = 3 a4 = 3 · 23 = 24 a2 = 3 · 2 = 6 a5 = 3 · 24 = 48 a3 = 3 · 22 = 12 a6 = 3 · 25 = 96−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− La obtención del término general de una sucesión puede entrañar una notable dificultad. No obstante, se estudiarán a continuación dos clases de sucesiones en las que el hallazgo del término general es bastante sencillo.

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada elemento se obtiene sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, que se representa por la letra d . Así, si (an) es una progresiónaritmética, se verifica que: an = an − 1 + d Ejercicio: cómo reconocer una progresión aritmética

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