Prubea de Cálculo

Examen 1 — C´lculo en una variable


Problemas
1. [1.0 ptos.] Usando la definici´n de l´
o
ımite, demuestre que
l´
ım

x→∞

15x
15
=
.
2x + 3
2

2. [0.5ptos.] Sea x0 ∈ Dom(tan). Usando la definici´n de derivada calcule tan (x0 ).
o
3. [0.5 ptos.] De una hoja de cart´n cuadrada, de lado a > 0, hay que hacer una cajarectangular abierta,
o
que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ´ngulos de la hoja y doblando
a
despu´s los salientes de la figura enforma de cruz as´ obtenida.
e
ı
4. [1.0 ptos.] ¿En cu´nto aumenta, aproximadamente, el volumen de una esfera, si su radio R = 15 cm se
a
alarga en 2 mm?
5. [1.5 ptos.]Calcule los l´
ımites indicados

L1 = l´
ım

x→∞

x4 − 2x3 + x
x4 − 2x3 − x2 + 2x · ln(x) + 1
2

2x4 ·ex +1
x2 ·ex −5x1 2

;

2

5x − 2x
;
x→0 sin(x2)

L2 = l´
ım
L3 = l´
ım

x→0

1 + sin(x3 ) − 1 − ln(1 + x3 )
.
arctan(ex3 − 1)

6. [1.5 ptos.] Indique la regi´n de continuidad de la funci´n dada medianteo
o

 x cos(x) − sen(x)

, si x ∈ [−1/2, 1/2) \ {0},
x3
f (x) = 1
 ,

si x = 0.
5
7. Considere la funci´n definida por la f´rmula f (x) = √
o
o

x2
.x2 − 1

a) [0.5 ptos.] Indique si f tiene as´
ıntotas y, si es el caso, identifique de qu´ tipo son.
e
b) [1.0 ptos.] Indique de qu´ tipo son los puntos cr´
eıticos de f . Indique en que regi´n la funci´n es
o
o
estrictamente decreciente.
c) [1.0 ptos.] Encuentre los puntos de inflexi´n y establezca los intervalos de convexidad def .
o
8. [1.5 ptos.] De una hoja circular hay que cortar un sector de manera tal que al enrollarlo se obtenga un
embudo con la mayor capacidad posible.

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