pruebas pareadas



Estimación de parámetros estadísticos.
En general, de las variables experimentales u observacionales no conocemos la fpd. Podemos conocer la familia (normal, binomial,...) pero no los parámetros. Para calcularlos necesitaríamos tener todos los posibles valores de la variable, lo que no suele ser posible. 
La inferencia estadística trata de cómo obtener información (inferir) sobre losparámetros a partir de subconjuntos de valores (muestras) de la variable.
Estadístico: variable aleatoria que sólo depende de la muestra aleatoria elegida para calcularla. 
Estimación: Proceso por el que se trata de averiguar un parámetro de la población representado, en general, por  a partir del valor de un estadístico llamado estimador y representado por 
El problema se resuelve en base alconocimiento de la "distribución muestral" del estadístico que se use. 
¿Qué es esto? Concretemos, p.e. en la media (. Si para cada muestra posible calculamos la media muestral () obtenemos un valor distinto ( es un estadístico: es una variable aleatoria y sólo depende de la muestra), habrá por tanto una fpd para , llamada distribución muestral de medias. La desviación típica de esta distribución sedenomina error típico de la media. Evidentemente, habrá una distribución muestral para cada estadístico, no sólo para la media, y en consecuencia un error típico para cada estadístico. 
Si la distribución muestral de un estadístico estuviera relacionada con algún parámetro de interés, ese estadístico podría ser un estimador del parámetro.
Distribución muestral de medias
Si tenemos una muestraaleatoria de una población N(, ), se sabe (Teorema del límite central) que la fdp de la media muestral es también normal con media  y varianza 2/n. Esto es exacto para poblaciones normales y aproximado (buena aproximación con n>30) para poblaciones cualesquiera. Es decir es el error típico, o error estándar de la media.
¿Cómo usamos esto en nuestro problema de estimación? 
1º problema: No haytablas para cualquier normal, sólo para la normal =0 y =1 (la llamada z); pero haciendo la transformación (llamada tipificación)

una normal de media  y desviación  se transforma en una z.

Llamando z al valor de una variable normal tipificada que deja a su derecha un área bajo la curva de , es decir, que la probabilidad que la variable sea mayor que ese valor es (estos son los valoresque ofrece la tabla de la normal)

podremos construir intervalos de la forma

para los que la probabilidad es 1 - .

Teniendo en cuenta la simetría de la normal y manipulando algebraícamente

que también se puede escribir

o, haciendo énfasis en que es el error estándar de la media,

Recuérdese que la probabilidad de que  esté en este intervalo es 1 - . A un intervalo de este tipose le denomina intervalo de confianza con unnivel de confianza del 100(1 - )%, o nivel de significación de 100%. El nivel de confianza habitual es el 95%, en cuyo caso =0,05 y z /2=1,96. Al valor se le denomina estimación puntual y se dice que es un estimador de .
Ejemplo: Si de una población normal con varianza 4 se extrae una muestra aleatoria de tamaño 20 en la que se calcula se puededecir que tiene una probabilidad de 0,95 de estar comprendida en el intervalo

que sería el intervalo de confianza al 95% para 
En general esto es poco útil, en los casos en que no se conoce  tampoco suele conocerse 2; en el caso más realista de 2 desconocida los intervalos de confianza se construyen con la t de Student (otra fdpcontinua para la que hay tablas) en lugar de la z.

o,haciendo énfasis en que es el error estándar estimado de la media,

Este manera de construir los intervalos de confianza sólo es válido si la variable es normal. Cuando n es grande (>30) se puede sustituir t por zsin mucho error.
Estimación de proporciones
Sea X una variable binomial de parámetros n y p (una variable binomial es el número de éxitos en n ensayos; en cada ensayo la probabilidad de...