PTema4

Problemas. Intervalos de Confianza y
Contrastes de Hip´otesis
Ejemplos resueltos y propuestos

Intervalos de Confianza
Variable Nomal en la poblaci´
on
Se selecciona una muestra de tama˜
no n de una poblaci´on
𝑋 → 𝑁 (𝜇, 𝜎)
1. Intervalo de confianza para la media 𝜇 con 𝜎 conocida
𝜎
𝑋 ± 𝑧𝛼/2 √
𝑛
2. Intervalo de confianza para la media 𝜇 con 𝜎 desconocida
𝑠
𝑋 ± 𝑡𝛼/2 √
𝑛
3. Intervalo de confianza para lavarianza 𝜎 2
(

(𝑛 − 1)𝑠2 (𝑛 − 1)𝑠2
,
)
𝜒2𝑠𝑢𝑝
𝜒2𝑖𝑛𝑓

Variable Bernoulli en la poblaci´
on
Se selecciona una muestra de tama˜
no n de una poblaci´on
𝑋 → 𝐵(1, 𝑝)
1. Intervalo de confianza para la proporci´on
√
𝑢𝑝 (1 − 𝑢𝑝 )
𝑢𝑝 ± 𝑧𝛼/2
𝑛
1

Ejemplos Resueltos de Intervalos de Confianza
Ejemplo 1. Intervalo de confianza para la media con 𝜎
conocida
Se ha obtenido una muestra de 25 alumnos de una Facultadpara estimar
la calificaci´on media de los expedientes de los alumnos en la Facultad. Se
sabe por otros cursos que la desviaci´on t´ıpica de las puntuaciones en dicha
Facultad es de 2.01 puntos.
La media de la muestra fue de 4.9.
1. Intervalo de confianza al 90 %.
2. Intervalo de confianza al 99 %.

Soluci´
on ejemplo 1.
1. Intervalo de confianza al 90 %. Usamos la f´ormula:
𝜎
𝑋 ± 𝑧𝛼/2 √
𝑛
Loscuantiles de orden 0.05 y 0.95, que encierran en el centro de la distribuci´on normal un ´area igual a 0.9 se muestran en el gr´afico siguiente:

Por u
´ltimo, sustituyendo los datos en la f´ormula del intervalo, tenemos:
2,01
4,9 ± 1,64 √ ≡ 4,9 ± 0,66
25
2

(4,24, 5,56)
2. Intervalo de confianza al 99 %.
𝜎
𝑋 ± 𝑧𝛼/2 √
𝑛
De modo similar obtenemos los cuantiles de orden 0.005 y 0.995 que
describen en elmodelo normal una confianza del 99 %

Por u
´ltimo, sustituyendo los datos en la f´ormula del intervalo, tenemos:
2,01
4,9 ± 2,58 √ = 4,9 ± 1,04
25
(3,86, 5,94)

Ejemplo 2. Intervalo de confianza para la media con 𝜎
desconocida
Se ha obtenido una muestra de 15 vendedores de una Editorial para estimar el valor medio de las ventas por trabajador en la Empresa.
La media y varianza de la muestra ( en milesde euros ) son 5 y 2,
respectivamente.
1. Intervalo de confianza para la venta media por trabajador en la Editorial al 90 %.
2. Intervalo de confianza para la varianza de las ventas por trabajador en
la Editorial al 90 %.
3

Soluci´
on ejemplo 2.
1. Intervalo de confianza para la media de ventas por vendedor al 90 %.
Usamos la f´ormula:
𝑠
𝑋 ± 𝑡𝛼/2 √
𝑛
Se conoce la varianza de la muestra 𝑉 (𝑋) = 2,pero necesitamos la
cuasi-varianza 𝑠2
15
𝑛
𝑉 (𝑥) = 2 = 2,143
𝑠2 =
𝑛−1
14
√
Y, por tanto, una cuasi-desviaci´on t´ıpica igual a 𝑠 = 𝑠2 = 1,464.
Los cuantiles de orden 0.05 y 0.95, que encierran en el centro de la
distribuci´on t de Student con 14 g.l. un a´rea igual a 0.9 se muestran en
el gr´afico siguiente:

Por u
´ltimo, sustituyendo los datos en la f´ormula del intervalo, tenemos:
1,464
5 ±1,761 √
≡ 5 ± 0,666
15
(4,334, 5,666)
2. Intervalo de confianza para la varianza al 90 %.
(

(𝑛 − 1)𝑠2 (𝑛 − 1)𝑠2
,
)
𝜒2𝑠𝑢𝑝
𝜒2𝑖𝑛𝑓

De modo similar obtenemos los cuantiles de orden 0.05 y 0.95 que
describen en el modelo chi-cuadrado con 14 g.l. una confianza del 90 %
4

Por u
´ltimo, sustituyendo los datos en la f´ormula del intervalo, tenemos:
(

(15 − 1)2,143 (15 − 1)2,143
,
)
23,685
6,571
(1,27,4,58)

Ejemplo 3. Intervalo de confianza para la proporci´
on
Se ha obtenido una muestra al azar de 150 vendedores de una Editorial
para estimar la proporci´on de vendedores en la Editorial que no alcanza un
l´ımite de ventas m´ınimo establecido por la direcci´on.
De entre los seleccionados, 50 no han conseguido llegar al l´ımite de ventas
m´ınimo establecido.
1. Intervalo de confianza para laproporci´on de trabajadores en la Editorial
que no alcanza el l´ımite al 80 %.
2. Intervalo de confianza para la proporci´on de trabajadores en la Editorial
que no alcanza el l´ımite al 99 %.
3. Interprete los intervalos obtenidos.

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Soluci´
on ejemplo 3.
1. Intervalo de confianza para la proporci´on al 80 %. Usamos la f´ormula:
√
𝑢𝑝 (1 − 𝑢𝑝 )
𝑢𝑝 ± 𝑧𝛼/2
𝑛
50
La proporci´on de la muestra es 𝑢𝑝 = 150
=...