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¿Qué es una transformación lineal?
Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espacio vectorial en otrointeresan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen laestructura de espacio vectorial. 

En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si,para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es el cuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)
que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad delinealidad.
Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codominio de T.

Ejemplo 1. A partir de la definición, analicemos si es lineal la siguientetransformación:

T: R2 ® R3 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x1 + x2, x1 - x2, x2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y =(y1, y2) 
x + y = (x1 + y1, x2 + y2) 

T (x + y) = T (x1 + y1, x2 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + y1 - x2 - y2, x2 + y2) =
                                           = (x1 + x2, x1 - x2, x2) + (y1 +y2, y1 - y2, y2) = T (x) + T (y)

b) ¿ " x Î  R2, " k Î  R : T (k x) = k T (x) ?

T (k x) = T (k (x1, x2)) = T (k x1, k x2) = (k x1 + k x2, k x1 - k x2, k x2) = 
                                = k(x1 + x2, x1 - x2, x2) =
                                = k T (x)

Se verifican las dos condiciones de la definición, entonces la transformación es lineal. 

Ejemplo 2. Analicemos ahora si T eslineal, siendo T: R2 ® R2 / " x Î  R2 : T ((x1, x2)) = (x2, x1 + 2)

Se deben verificar las dos condiciones de la definición:

a) ¿ " x, y Î  R2 : T (x + y) = T (x) + T (y) ?

x = (x1, x2)
y = (y1, y2) ...