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Publicado: 17 de septiembre de 2012
APITULO 1. EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS
Este capítulo consta de cinco lecciones:
1.1.- Definición de experimento aleatorio 1.2.- Definición de espacio muestral 1.3.- Sucesos o eventos. 1.4.- Operaciones con eventos 1.5.- Diagramas de Venn y diagramas de árbol Lección 1: Definición de Experimento Aleatorio En la teoría de probabilidades se habla a menudo de experimentosaleatorios y de fenómenos aleatorios. La palabra aleatorio proviene del vocablo latino alea, el cual significa suerte o azar. Un fenómeno aleatorio, es por tanto, aquél cuyo resultado está fuera de control y que depende del azar.
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a serobservado en la realización del experimento.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
Suceso aleatorio esun acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios. Lección 2: Definición deEspacio Muestral Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por S. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral. EJEMPLO 1.1: En un dado, S={1,2,3,4,5,6} En una moneda, S={C,+} Un experimento aleatorio cumple con las siguientes características:
• •• •
El experimento puede realizarse bajo idénticas condiciones cuantas veces sea necesario. Los posibles resultados son todos conocidos. El resultado del experimento es incierto, depende del azar. Se observa cierto patrón de regularidad a medida que aumentan las repeticiones.
EJEMPLO 1.2 : En una empresa de lácteos hacen control de calidad al llenado de bolsas de leche de 1000 cc de volumen.Cada 20 minutos se verifica el volumen de llenado de la máquina. La evaluación continúa hasta encontrar una bolsa que no cumple las especificaciones. Sea s el hecho de que la bolsa de leche cumple con las especificaciones de volumen, y n las que no cumple con ellas. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
El espacio muestral se representa como una secuencia de las letras s y n. Dadoque el experimento termina cuando una bolsa de leche no cumple con las especificaciones de volumen, el espacio muestral estará formado por una secuencia de s seguida por una n.
Lección 3: Sucesos o Eventos
Sucesos o Eventos.
El espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: S = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Podemosconsiderar algunos subconjuntos de S, por ejemplo:
Salir múltiplo de 5: A = {5,10,15} Salir número primo: C = {2,3,5,7,11,13,17} Salir mayor o igual que 12: D = {12,13,14,15,16,17,18}
Todos estos subconjuntos del espacio muestral S los llamamos sucesos o eventos. Suceso o Evento de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral S. Los elementos de S sellaman sucesos individuales o sucesos elementales. También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio S, suceso seguro. Si S tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.
EJEMPLO 1.3:
• • • • •
•
{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. En un dado hay 26 = 64 sucesos. En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que...
Este capítulo consta de cinco lecciones:
1.1.- Definición de experimento aleatorio 1.2.- Definición de espacio muestral 1.3.- Sucesos o eventos. 1.4.- Operaciones con eventos 1.5.- Diagramas de Venn y diagramas de árbol Lección 1: Definición de Experimento Aleatorio En la teoría de probabilidades se habla a menudo de experimentosaleatorios y de fenómenos aleatorios. La palabra aleatorio proviene del vocablo latino alea, el cual significa suerte o azar. Un fenómeno aleatorio, es por tanto, aquél cuyo resultado está fuera de control y que depende del azar.
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a serobservado en la realización del experimento.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura, velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
Suceso aleatorio esun acontecimiento que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de personas que acudirán a un gran almacén o que se matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas decisiones individuales, pueden ser estudiados, muy ventajosamente, como aleatorios. Lección 2: Definición deEspacio Muestral Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo designaremos por S. A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral. EJEMPLO 1.1: En un dado, S={1,2,3,4,5,6} En una moneda, S={C,+} Un experimento aleatorio cumple con las siguientes características:
• •• •
El experimento puede realizarse bajo idénticas condiciones cuantas veces sea necesario. Los posibles resultados son todos conocidos. El resultado del experimento es incierto, depende del azar. Se observa cierto patrón de regularidad a medida que aumentan las repeticiones.
EJEMPLO 1.2 : En una empresa de lácteos hacen control de calidad al llenado de bolsas de leche de 1000 cc de volumen.Cada 20 minutos se verifica el volumen de llenado de la máquina. La evaluación continúa hasta encontrar una bolsa que no cumple las especificaciones. Sea s el hecho de que la bolsa de leche cumple con las especificaciones de volumen, y n las que no cumple con ellas. ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?
El espacio muestral se representa como una secuencia de las letras s y n. Dadoque el experimento termina cuando una bolsa de leche no cumple con las especificaciones de volumen, el espacio muestral estará formado por una secuencia de s seguida por una n.
Lección 3: Sucesos o Eventos
Sucesos o Eventos.
El espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es: S = {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Podemosconsiderar algunos subconjuntos de S, por ejemplo:
Salir múltiplo de 5: A = {5,10,15} Salir número primo: C = {2,3,5,7,11,13,17} Salir mayor o igual que 12: D = {12,13,14,15,16,17,18}
Todos estos subconjuntos del espacio muestral S los llamamos sucesos o eventos. Suceso o Evento de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral S. Los elementos de S sellaman sucesos individuales o sucesos elementales. También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio S, suceso seguro. Si S tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.
EJEMPLO 1.3:
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{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. En un dado hay 26 = 64 sucesos. En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que...
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