RADIACION

FUNDAMENTOS DE RADIACIÓN

ANTENAS

1

Ecuaciones de Maxwell
Ecuaciones diferenciales
Los fenómenos electromagnéticos se pueden describir a partir de las
cuatro ecuaciones de Maxwell.
Ley de Ampère
Ley de Faraday
Ley de Gauss
Ley de Gauss

r
r r ∂D
∇× H = J +
∂t
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅B = 0

Unidades
r
E
r
H
r
D
r
B
r
J
ρ

Campo eléctricoIntensidad del campo
magnético
Desplazamiento del campo
eléctrico
Flujo del campo magnético
Densidad de corriente
Densidad de carga

Voltios/m
Amperios/m
Culombios/m 2
Weber/m 2=tesla
Amperios/m 2
Culombios/m 3

Ecuación de continuidad
De las ecuaciones anteriores se deduce la ecuación de continuidad.
Para ello se toma la divergencia de la ley de Ampère. Teniendo en
cuenta que ladivergencia del rotacional es cero, se obtiene la relación
entre las cargas y las corrientes.
r
r ∂∇⋅ D
0 =∇⋅J +
∂t
r ∂ρ
∇⋅ J +
=0
∂t

 Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia

FUNDAMENTOS DE RADIACIÓN

ANTENAS

2

Casos particulares de las Ecuaciones de Maxwell
En el espacio libre las corrientes y las cargas son cero y lasecuaciones
de Maxwell se pueden simplificar eliminando los términos
correspondientes. Asimismo si las fuentes varían armónicamente con
el tiempo, las ecuaciones electromagnéticas y sus soluciones se
simplifican, utilizando para ello una notación fasorial, de forma que
las derivadas respecto al tiempo se transforman en productos por el
factor jω . Finalmente para casos sin variación temporal, lasecuaciones toman las formas de electrostática y magnetostática.

Diferencial

Ley de Ampère

r
r r ∂D
∇× H = J +
∂
rt
r ∂D
Espacio
∇
×
H
=
libre
∂t
r r
r
Armónica ∇ × H = J + (σ + jωε ) E
r r
Estacionario
∇× H = J
Caso
general

Ley de
Faraday
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
∂B
∇× E = −
∂t
r
r
∇ × E = − jωµ H
r
∇× E = 0

Ley de
Gauss
r
∇⋅D = ρ

Ley deGauss
r
∇⋅B = 0

r
∇⋅D = 0
r
∇⋅D = ρ
r
∇⋅D = ρ

r
∇⋅B = 0
r
∇⋅B = 0
r
∇⋅B = 0

Ecuaciones en forma integral
Las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en forma integral,
aplicando para ello los teoremas de Stokes y de la divergencia
r
r r
 r ∂D  uur
Ñ∫ H ⋅ dl = ∫∫  J + ∂t  ⋅ ds
r
r uur
∂B uur
Ñ∫ E ⋅ dl = − ∫∫ ∂t ⋅ ds
r uur
D
∫∫ ⋅ ds = ∫∫∫ ρ dv
r uur
B
∫∫ ⋅ ds= 0

 Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia

FUNDAMENTOS DE RADIACIÓN

ANTENAS

3

En medios materiales hay que considerar la relación entre los
r r
r r
vectores intensidad E, H e inducción D, B utilizando la
permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética, que en el
espacio libre toman los valores
ε 0 = 10-9/36p F/m
µ 0= 4p10-7 H/m
En general
r
r
r
D = ε E = ε rε 0 E
r
r
r
B = µ H = µr µ0 H
Los valores relativos de la permitividad y permeabilidad pueden ser
reales o complejos, escalares o matrices , constantes o
variables(dependientes de la posición). En cada caso los medios se
denominan como:
Permitividad,
permeabilidad
Real
Compleja
Escalar
Matriz
Constante
Variable

Tipo de medio
Sinpérdidas
Con pérdidas
Isótropo
Anisótropo
Homogéneo
Inhomogéneo

Finalmente, las antenas se estudiarán en medios
homogéneos e isótropos.

lineales,

En este caso las ecuaciones de Maxwell para campos variables
sinusoidalmente se pueden escribir como
r ρ
∇⋅E =
ε
r
∇⋅H = 0
r
r
∇ × E = − jωµ H
r r
r
∇ × H = J + jωε E

 Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones.Universidad Politécnica de Valencia

ANTENAS

FUNDAMENTOS DE RADIACIÓN

4

Ecuaciones de Onda para los Campos
Ecuaciones de Maxwell (variación armónica )
r ρ
∇⋅E =
ε
r
∇⋅H = 0
r
r
∇ × E = − jωµ H
r r
r
∇ × H = J + jωε E

Ecuación de continuidad
De las ecuaciones anteriores se deduce la ecuación de continuidad,
tomando para ello la divergencia de la Ley de Ampère, y...