Raiz2

Pruebas de irracionalidad
Existen varias pruebas de la irracionalidad de basadas en el método del descenso infinito y en el método de reducción al absurdo, que se fundamenta en suponer que es unnúmero racional y llegar, utilizando razonamientos rigurosamente correctos, a una contradicción, lo que hace concluir que la primera suposición tiene que ser falsa.

Prueba geométrica
Se fundamenta enel método del descenso infinito. Es una construcción geométrica clásica de regla y compás, probando el teorema por un modo muy similar a como lo hacían los antiguos geómetras griegos.
Sea ABC untriángulo rectángulo isósceles con hipotenusa de longitud de m y catetos de logitud n. Por el teorema de Pitágoras, n ² + n ² = m ² ; 2n ² =m ² ; = m/n.
Supongamos que m y n son números enteros.
Trazamoslos arcos BD y CE con centro en A. Unimos DE. Se sigue que AB = AD, AC = AE y el ∠BAC y el ∠DAE coinciden. Por lo tanto los triángulos ABC y ADE son congruentes por tener dos lados iguales y elángulo comprendido también.
Como ∠EBF es un ángulo recto y ∠BEF es la mitad de un recto, BEF es también un triángulo rectángulo isósceles. Se cumple que BE = BF = m − n. Razonando análogamente, FDC estambién un triángulo rectángulo isósceles, con catetos DF = DC = m − n, y con hipotenusa FC = n − (m − n) = 2n − m, que son números también enteros y menores a n y m respectivamente. Al ser ABC y FDC dostriángulos semejantes podemos repetir el anterior proceso de forma recurrente. Con las longitudes de las hipotenusas y con las de los catetos de los sucesivos triángulos, obtenemos dos sucesiones denúmeros enteros estrictamente decrecientes que no son finitas, lo cual es imposible porque si n y m son enteros debe existir una fracción irreducible. Esta contradicción nos hace concluir que lasuposición de que m y n son números enteros es falsa y que no puede ser una fracción con m y n enteros, por tanto tiene que ser un número irracional.

Prueba basada en argumentos de paridad
1.-Se...