_reas_y_vol_menes_de_cuerpos_geom_tricos
Páginas: 24 (5829 palabras)
Publicado: 31 de enero de 2016
ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
1. CUERPOS GEOMÉTRICOS
En nuestro entorno observamos continuamente objetos de diversas formas: pelotas, botes, cajas, pirámides, etc. To- dos estos objetos son cuerpos geométricos. A lo largo de todos los tiempos se han utilizado estos cuerpos en el arte y en la arquitectura.
Clasificamos, en el siguiente esquema, los cuerpos geométricos:
2.POLIEDROS
Los principales elementos de un poliedro son:
Caras o polígonos que lo limitan.
Aristas o lados de las caras.
Vértices o puntos de corte de las aristas.
Diagonales o segmentos que unen dos vértices de distintas caras.
Dentro de ellos, haremos la siguiente distinción: diremos que un poliedro es convexo si todas sus caras se pueden apoyar en un plano; cuando no ocurre así, se dice queel poliedro es cóncavo.
Poliedro convexo Poliedro cóncavo
2.1. Poliedros regulares
Sólo existen cinco poliedros regulares. A continuación te mostramos cada uno de ellos con su definición:
Tetraedro
4 caras triángulos equiláteros
Hexaedro o cubo
6 caras cuadrados
Octaedro
8 caras triángulos equiláteros
Dodecaedro
12 caras pentágonos
Icosaedro
20 caras triángulos equiláteros
2.2. Prismas ypirámides
Podemos clasificar los prismas de la siguiente manera:
Por los polígonos de sus bases pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.
Rectos y oblicuos, según que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a las bases.
Regulares o irregulares. Son regulares aquellos prismas rectos cuyas bases son polígonos regulares; y son irregulares cuando falta algunacondición de regularidad.
Paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos, luego sus seis caras son paralelogramos. Los paralelepípedos rectos se denominan ortoedros, y son el ortoedro (o paralelepípedo rectángulo) y el cubo (o hexaedro).
Prisma pentagonal recto (regular)
Base: pentágono regular
Prisma cuadrangular oblicuo (irregular)
Base: cuadrado
Paralelepípedos:
Ortoedro oparalelepípedo rectángulo
Todas sus caras son rectángulos
Cubo o hexaedro
Todas sus caras son cuadrados
Los elementos más característicos de la pirámide, además de los generales de los poliedros, son:
Altura, h, o distancia del vértice al plano que contiene la base.
Apotema lateral, al, es la altura de sus caras laterales.
Apotema de la base, ab, es la apotema de la base.
Estos tres elementosforman un triángulo rectángulo que nos resul- tará muy útil en los cálculos de áreas y volúmenes.
Pirámide pentagonal recta (regular)
Podemos clasificar las pirámides de la siguiente manera:
Por los polígonos de sus bases pueden ser triangulares, cuadrangu- lares, pentagonales, etc.
Rectas y oblicuas. Las pirámides rectas son aquellas que tienen por caras laterales triángulos isósceles.Si alguna cara lateral es un triángulo escaleno, la pirámide es oblicua.
Regulares o irregulares. Son regulares aquellas pirámides rectas que tienen por base un polígono regular; y son irregulares cuando falta alguna condición de regularidad.
Pirámide pentagonal oblicua (irregular)
El tronco de pirámide es la parte de pi- rámide comprendida entre la base y la sec- ción producida por unplano paralelo a la base. La altura del tronco es la distancia entre las bases y la apotema es la altura de una cara lateral (trapecio).
2.3. Teorema de Euler
A partir de los siguientes poliedros convexos construimos la tabla que figura más abajo.
Pirámide cuadrangular Pirámide triangular Diamante
truncada
Poliedro
C (caras)
V (vértices)
A (aristas)
C V A
Pirámide cuadrangular
5
5
8
2Pirámide triangular truncada
5
6
9
2
Diamante
11
11
20
2
Observa el resultado curioso que obtenemos en la última columna: C V A 2. Este resultado fue descubierto por Leonhard Euler (1707 – 1783) y se conoce con el nombre de teorema de Euler.
EJERCICIOS
1. Indica a qué poliedro regular corresponde cada desarrollo.
2. Completa las siguientes tablas.
Base
Prismas
Pirámides
C
V
A
C
V...
ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
1. CUERPOS GEOMÉTRICOS
En nuestro entorno observamos continuamente objetos de diversas formas: pelotas, botes, cajas, pirámides, etc. To- dos estos objetos son cuerpos geométricos. A lo largo de todos los tiempos se han utilizado estos cuerpos en el arte y en la arquitectura.
Clasificamos, en el siguiente esquema, los cuerpos geométricos:
2.POLIEDROS
Los principales elementos de un poliedro son:
Caras o polígonos que lo limitan.
Aristas o lados de las caras.
Vértices o puntos de corte de las aristas.
Diagonales o segmentos que unen dos vértices de distintas caras.
Dentro de ellos, haremos la siguiente distinción: diremos que un poliedro es convexo si todas sus caras se pueden apoyar en un plano; cuando no ocurre así, se dice queel poliedro es cóncavo.
Poliedro convexo Poliedro cóncavo
2.1. Poliedros regulares
Sólo existen cinco poliedros regulares. A continuación te mostramos cada uno de ellos con su definición:
Tetraedro
4 caras triángulos equiláteros
Hexaedro o cubo
6 caras cuadrados
Octaedro
8 caras triángulos equiláteros
Dodecaedro
12 caras pentágonos
Icosaedro
20 caras triángulos equiláteros
2.2. Prismas ypirámides
Podemos clasificar los prismas de la siguiente manera:
Por los polígonos de sus bases pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.
Rectos y oblicuos, según que las aristas laterales sean perpendiculares u oblicuas a las bases.
Regulares o irregulares. Son regulares aquellos prismas rectos cuyas bases son polígonos regulares; y son irregulares cuando falta algunacondición de regularidad.
Paralelepípedos son prismas cuyas bases son paralelogramos, luego sus seis caras son paralelogramos. Los paralelepípedos rectos se denominan ortoedros, y son el ortoedro (o paralelepípedo rectángulo) y el cubo (o hexaedro).
Prisma pentagonal recto (regular)
Base: pentágono regular
Prisma cuadrangular oblicuo (irregular)
Base: cuadrado
Paralelepípedos:
Ortoedro oparalelepípedo rectángulo
Todas sus caras son rectángulos
Cubo o hexaedro
Todas sus caras son cuadrados
Los elementos más característicos de la pirámide, además de los generales de los poliedros, son:
Altura, h, o distancia del vértice al plano que contiene la base.
Apotema lateral, al, es la altura de sus caras laterales.
Apotema de la base, ab, es la apotema de la base.
Estos tres elementosforman un triángulo rectángulo que nos resul- tará muy útil en los cálculos de áreas y volúmenes.
Pirámide pentagonal recta (regular)
Podemos clasificar las pirámides de la siguiente manera:
Por los polígonos de sus bases pueden ser triangulares, cuadrangu- lares, pentagonales, etc.
Rectas y oblicuas. Las pirámides rectas son aquellas que tienen por caras laterales triángulos isósceles.Si alguna cara lateral es un triángulo escaleno, la pirámide es oblicua.
Regulares o irregulares. Son regulares aquellas pirámides rectas que tienen por base un polígono regular; y son irregulares cuando falta alguna condición de regularidad.
Pirámide pentagonal oblicua (irregular)
El tronco de pirámide es la parte de pi- rámide comprendida entre la base y la sec- ción producida por unplano paralelo a la base. La altura del tronco es la distancia entre las bases y la apotema es la altura de una cara lateral (trapecio).
2.3. Teorema de Euler
A partir de los siguientes poliedros convexos construimos la tabla que figura más abajo.
Pirámide cuadrangular Pirámide triangular Diamante
truncada
Poliedro
C (caras)
V (vértices)
A (aristas)
C V A
Pirámide cuadrangular
5
5
8
2Pirámide triangular truncada
5
6
9
2
Diamante
11
11
20
2
Observa el resultado curioso que obtenemos en la última columna: C V A 2. Este resultado fue descubierto por Leonhard Euler (1707 – 1783) y se conoce con el nombre de teorema de Euler.
EJERCICIOS
1. Indica a qué poliedro regular corresponde cada desarrollo.
2. Completa las siguientes tablas.
Base
Prismas
Pirámides
C
V
A
C
V...
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