reessdds

Curvas Maravillosas

www.librosmaravillosos.com 

1

A. I. Markushevich 

Preparado por Patricio Barros

Curvas Maravillosas

www.librosmaravillosos.com 

A. I. Markushevich 

Curvas Maravillosas
A. I. Markushevich
Prólogo
Este libro está destinado principalmente para los escolares y para todos los que
están interesados en ampliar sus conocimientos matemáticos adquiridos enla
escuela.
Se basa en una conferencia que dicto el autor a un grupo de alumnos moscovitas de
séptimo y octavo grados.
Al preparar la publicación de la conferencia, el autor la ha ampliado un poco
tratando de conservar el estilo accesible de la exposición.
El complemento más esencial es el punto 13 en el que se trata de la elipse, la
hipérbola y la parábola en tanto que secciones de unasuperficie cónica.
Con el fin de no aumentar el volumen del libro, las propiedades de las curvas se
dan. en su mayoría, sin demostración aun cuando en muchos casos la demostración
podría ser realizada en forma accesible para el lector.
El autor
***
1. Las palabras «curva» o «curvo» se emplean a veces como adjetivos para
describir lo que se aparta de la dirección recta.
Los matemáticos suelenemplear la palabra «curva» en calidad de substantivo como
un sinónimo de línea curva. ¿Qué es una línea curva? ¿Cómo abarcar en una
definición las curvas que se trazan con lápiz o pluma en el papel o con tiza en la
pizarra y las curvas que describen una estrella fugaz o un cohete en cielo nocturno?
Aceptaremos la definición siguiente; la curva (o sea, la línea curva) es la traza de
un puntomóvil. En nuestros ejemplos, este punto es la punta del lápiz, el extremo
de la tiza, un meteoro candente que atraviesa las capas superiores de la atmósfera
o un cohete. Desde este punto de vista, la recta es un caso particular de la curva.
Efectivamente, ¿acaso no puede ser rectilínea la traza de un punto móvil?
2

Preparado por Patricio Barros

Curvas Maravillosaswww.librosmaravillosos.com 

A. I. Markushevich 

2. Un punto móvil efectivamente describe una recta si pasa de una posición a
cualquier otra por el camino más corto. Para trazar la recta se utiliza la regla; si
deslizamos un lápiz sobre su borde, la punta del lápiz dejará en el papel una traza
rectilínea.

Figura 1
Si el punto se desplaza sobre un plano de forma que permanece constante su
distancia a unpunto fijo del mismo plano, describirá la circunferencia; basándose en
esta propiedad de la circunferencia, se emplea para trazarla el compás.
La recta y la circunferencia son las curvas más sencillas y, a la vez, son las dos
curvas más notables en cuanto a sus propiedades. La recta y la circunferencia son
las curvas más familiares al lector. Pero que no piense que conoce a fondo todas laspropiedades principales de las rectas y circunferencias.
¿Sabe, por ejemplo, que si los vértices de dos triángulos ABC y A'B'C' se hallan
sobre tres rectas que se cortan en un punto S (fig. 1), los tres puntos K y L de

3

Preparado por Patricio Barros

Curvas Maravillosas

www.librosmaravillosos.com 

A. I. Markushevich 

intersección de los lados correspondientes AB y A'B', BC y B'C',AC y A'C' de los
triángulos deben estar sobre una misma recta?
El lector conoce, por supuesto, que el punto M describe una recta si se desplaza
sobre el plano de forma que permanecen iguales sus distancias a dos puntos fijos F1
y F2 del mismo plano, o sea, si MF1= MF2 (fig. 2).

Figura 2
Pero, le será difícil, probablemente, explicar qué curva describirá el punto M si su
distancia al puntoF, será un número determinado de veces mayor (por ejemplo,
dos veces como en la fig. 3) que su distancia al punto F2. Resulta que esta curva es
la circunferencia.

4

Preparado por Patricio Barros

Curvas Maravillosas

www.librosmaravillosos.com 

A. I. Markushevich 

Figura 3
Por consiguiente, si el punto M se desplaza sobre el plano de modo que su distancia
hasta uno de los...