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Teoremas del seno y el coseno: ejercicios resueltos
1) En los siguientes triángulos, halla los lados y ángulos restantes:
a)

b)

c)

d)

22º

110º

92º
6

12
79º
8

15

70º

25

28

5

2) Desde lo alto de un globo se observa un pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B, situado al otro
lado y en línea recta, con un ángulo de 60º. Sabiendo que elglobo se encuentra a una distancia de 6
kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B, calcula la distancia entre los pueblos A y B.
3) Los flancos de un triángulo forman un ángulo de 80º con la base. Si el triángulo tiene 30
centímetros de base, calcula la longitud de sus lados.
4) Tres amigos se sitúan en un campo de fútbol. Entre Alberto y Berto hay 25 metros, y entre Berto
y Camilo, 12metros. El ángulo formado en la esquina de Camilo es de 20º. Calcula la distancia
entre Alberto y Camilo.
5) Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20 metros en su lado mayor, 6 metros en
otro y 60º en el ángulo que forman entre ambos. Calcula cuánto mide el perímetro de la valla.

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Soluciones
1)
a)

Cuando tengamos que resolver untriángulo no rectángulo del cual
conozcamos una pareja ángulo-lado opuesto y un dato de algún otro
lado o ángulo, aplicaremos el teorema del seno. Recuerda que es el
que establece la siguiente relación:

22º

79º
8

a/senA = b/senB = c/senC

Siendo a y A, b y B, c y C las parejas de ángulo y lado opuesto. Utilizamos en este caso los 22º y el
lado de 8 como referencia y calculamos ellado opuesto a los 79º:
8/sen22 = b/sen79
8/0,37 = b/0,98
b = 21,62·0,98
b = 21,22
Para hallar el resto podría parecer que nos falta el dato del tercer ángulo. Pero recuerda que los tres
ángulos de un triángulo siempre suman 180º. Por lo tanto, ese tercer ángulo debe valer
C = 180 – 22 – 79 = 79º
Así que es un triángulo isósceles. No hace falta hacer más cálculos: si tiene dos ángulosiguales,
también tiene dos lados iguales, y el lado que nos falta también mide 21,22.
b)
92º
12

15

Otro caso de teorema del seno, pues tenemos una pareja ángulo/lado
opuesto completa, y algún otro dato suelto. Empezamos calculando
el ángulo que está frente al lado que mide 12:
15/sen92 = 12/senB
15/0,99 = 12/senB
senB = 12/15,15
B = 52,37º

El tercer ángulo mide 37,63º (180 menos lasuma de los otros dos). Con este dato calculamos el
tercer lado:
15/sen92 = c/sen37,63
15,15 = c/0,61
c = 9,25
(También podríamos haber usado la otra pareja b/senB; comprueba que da lo mismo).

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c)

Ahora no nos vale el teorema del seno, porque no tenemos una
pareja de ángulo/lado opuesto. Para estos casos, en los que
conocemos dos lados y elángulo del vértice que forman, usamos el
teorema del coseno:

6

70º

5

a2 = b2 + c2 - 2bc·cosA

Siendo a el lado que nos falta. Si te fijas, la fórmula se parece un montón al teorema de Pitágoras,
sólo que con un añadido; esta “actualización” es la que nos permite usarla en triángulos no
rectángulos. La fórmula del teorema del coseno también debería recordarte a otra cosa. Intentapensar cuál antes de mirar la nota al pie de página1.
a2 = 52 + 62 – 2·5·6·cos70
a2 = 61 – 60·0,34
a2 = 40,48
a = 6,36
Conociendo el lado opuesto, ya podemos usar el teorema del seno para hallar alguno de los ángulos
que aún no tenemos:
6,36/sen70 = 5/senB
6,36/0,94 = 5/senB
senB = 5/6,39
B = 51,54º
Y por lo tanto, C vale
C = 180 – 51,54 – 70 = 58,46º
d)

110º
25

28

De nuevousamos el terorema del coseno. Se resuelve igual que el
caso anterior.
a2 = 252 + 282 – 2·25·28·cos110
a2 = 625 + 784 – 1400·(-0,34)
a2 = 1885
a = 43,42

Y luego el teorema del seno:
43,42/sen110 = 25/senB
senB = 25/46,21 = 0,54
B = 32,76º
C = 180 – 110 – 32,76 = 37,24º
1

“El primero al cuadrado más el segundo al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo” ¿O no se parece...