Relac1_1314
Páginas: 10 (2474 palabras)
Publicado: 25 de octubre de 2015
C´
alculo y An´
alisis Vectorial - Dpto. de Matem´
atica Aplicada
Relaci´
on 1: Funci´
on real de una variable real
1. Resolver los siguientes l´ımites de sucesiones:
n+3
n→∞ n3 + 4
(a)
l´ım
(d)
n→∞
(g)
(j)
1−
l´ım
l´ım
√
3
l´ım
√
n
n→∞
n→∞
1
3n
n−
√
3
(b)
ln n
n→∞ ln 5n
(e)
l´ım
n→∞
2n + 9
2n + 3
l´ım
n 1−
l´ım
1+
l´ım
2n
n−1
a si a > 0
(h)
(k)
n→∞
n→∞
(c)1
n
ln(n + 3)
n→∞
ln n
l´ım
3n+5
(f)
3
1−
a
n
(i)
l´ım
n→∞
n−
l´ım n2
n→∞
n
(l)
l´ım n
(n + a)(n + b)
√
n
a−
√
n
n→∞
a−
√
n−1
√
n−1
a ,a > 0
a ,a > 0
2. Resolver los siguientes l´ımites, usando c´
alculos algebraicos para simplificar la suma indicada para el primer
l´ımite, y el teorema de compresi´
on para los otros tres:
(a)
(c)
l´ım
n→∞
l´ım
n→∞
1
1
1
+
+ ··· +
1·22·3
n · (n + 1)
n3
(b)
1
1
1
+
+ ··· + 3
+ 1 n3 + 2
n +n
(d)
l´ım
n→∞
l´ım
n→∞
n
n
n
+
+ ··· + 2
n2 + 1 n2 + 2
n +n
(1 +
√
(n − 1)!
√
√
1) · (1 + 2) · · · (1 + n)
3. Estudiar la existencia de los siguientes l´ımites, y calcular su valor o el de sus l´ımites laterales, cuando existan:
√
√
|x|
|x|
x x−x+ x−1
x2 + x − 6
(b) l´ım 2
(c) l´ım
(d) l´ım e x
(a) l´ım
2
x→0 x + x
x→1
x→0
x→2
x−4
x−1
1
4. Demostrar que no existe l´ım sen . Estudiar la existencia de los l´ımites:
x→0
x
(a)
l´ım
2 + sen
x→0
1
x
(b)
x
l´ım
x→0
2 + sen
1
x
5. Dadas las funciones f y g dar una expresi´on de f ◦ g y de g ◦ f , dar su dominio de definici´on y estudiar su
continuidad:
(a) f (x) = 1 − x
g(x) = x2 + 2x
|x|
x
g(x) =
0
(b) f (x) = x + 5
2x
(c)
si x ∈ [0, 1]
f (x) =
si x = 0
si x= 0
x2
si x ∈ [0, 1]
0
en otro caso
g(x) =
1
en otro caso
1
6. Calcular los siguientes l´ımites si existen, o justificar en caso contrario que no existen:
(a)
(d)
(g)
1 1
−
x 4
l´ım
x→4
1
x−4
l´ım
l´ım
x4
3x3 + 2x2 + x
(e)
l´ım
sen2 x2
x2
(h)
x→0
x→0
x+π
x→−π sen x
√
x−3
(m) l´ım
x→3 |x − 3|
√
x−1
(p) l´ım
x→1 x − 1
√
3
x−1
(s) l´ım
x→1 x − 1
(j)
(b)
1
l´ım h 1 +
h→0
hl´ım
(k)
(n)
(q)
(t)
(c)
2x
8
+
x+4 x+4
x→−4
(f)
l´ım
x→0
x2
1 − cos 2x
(i)
l´ım
|x| − x
(l)
x→1+
√
x−1
l´ım
x→0+ x − 1
√
x+5−3
l´ım
x→4
x−4
l´ım
x→∞
4
1
h2
l´ım
1
h→0
1−
h
sen x
l´ım
x→0
x2
1−
sen2 x
x(1 − cos x)
l´ım
x→0
|x| − x
l´ım
x→1−
√
(o)
(r)
x4 + 1 − x4
(u)
x−1
x−1
l´ım
x→0−
l´ım
tg2 2x
3x2
l´ım
sen x − sen a
x−a
x→0
x→a
7. Calcular los siguientesl´ımites si existen, o justificar en caso contrario que no existen:
(a)
(d)
(g)
(j)
(m)
(p)
(s)
(v)
2x − sen x
l´ım √
x→0
1 − cos x
√
1 − 1 − x2
l´ım
x→0
x2
l´ım
x→0
x2 (1 − cos x)
sen4 x
l´ım (1 + 2h)4/h
h→0
√
(b)
(e)
(h)
(k)
l´ım
x→∞
l´ım
x→2
l´ım
x→0
l´ım
x→a
3
x3
+1−x
x2 − 2x
x2 − 4x + 4
3x3
sen x + 16x5
ln x − ln a
x−a
l´ım (1 + x2 )1/x
(n)
l´ım
sen 2x
e3x − 1
(q)
1 − cosx
x→0
x2 /2
l´ım x
x
(t)
2x + 5 x
2
x→0
x→0
x→0
l´ım (1 + 2x + 3x )1/x
x→∞
(w)
l´ım (1 + x)1/x
2
x→0
l´ım
l´ım
x→0
sen2 x
x→0 1 − cos x
l´ım
2
3
(c)
(f)
(i)
(l)
(o)
(r)
l´ım
x→a
√
x− a
x−a
l´ım x2 sen
x→0
l´ım
x→0
1 − cos x
x
l´ım (1 − x)1/x
x→0
l´ım
x→a
ex − ea
x−a
l´ım x ln x
x→0+
1/x
(u)
1
x
l´ım x1/x
x→∞
8. Dadas las funciones
x
1
f (x) =
2
x
h(x) =
si x < 0
√
si x = 0
g(t) =
t−3
t2 + 1
si t > 3
si t < 3
si x > 0
1
x
1
3
x + 2x2
1
2
x −4
si x > 0
si − 2 < x < 0
si x < −2
hallar los siguientes l´ımites:
(a)
(f)
l´ım f (x)
(b)
x→−2
l´ım g(t)
(g)
t→7
l´ım f (x)
(c)
l´ım h(x)
(h)
x→0
x→2
l´ım f (x)
(d)
l´ım h(x)
(i)
x→3
x→0
l´ım g(t)
(e)
x→−1
l´ım g(t)
t→−3
l´ım h(x)x→−2
9. Calcular el l´ımite l´ım f (x) sabiendo que:
x→0
2 − |x| ≤ f (x) ≤ 2 + |x| ∀x = 0
10. Calcular el l´ımite l´ım f (x) sabiendo que:
x→0
f (x)
≤ M ∀x = 0
x
11. Extender por continuidad la funci´
on f (x) =
x2 − 4
.
x−2
12. Demostrar que la funci´
on dada es continua pero no es derivable en el valor x = 0:
f (x) =
3x
si
x<0
−4x
si
x≥0
13. Encontrar la derivada de las...
alculo y An´
alisis Vectorial - Dpto. de Matem´
atica Aplicada
Relaci´
on 1: Funci´
on real de una variable real
1. Resolver los siguientes l´ımites de sucesiones:
n+3
n→∞ n3 + 4
(a)
l´ım
(d)
n→∞
(g)
(j)
1−
l´ım
l´ım
√
3
l´ım
√
n
n→∞
n→∞
1
3n
n−
√
3
(b)
ln n
n→∞ ln 5n
(e)
l´ım
n→∞
2n + 9
2n + 3
l´ım
n 1−
l´ım
1+
l´ım
2n
n−1
a si a > 0
(h)
(k)
n→∞
n→∞
(c)1
n
ln(n + 3)
n→∞
ln n
l´ım
3n+5
(f)
3
1−
a
n
(i)
l´ım
n→∞
n−
l´ım n2
n→∞
n
(l)
l´ım n
(n + a)(n + b)
√
n
a−
√
n
n→∞
a−
√
n−1
√
n−1
a ,a > 0
a ,a > 0
2. Resolver los siguientes l´ımites, usando c´
alculos algebraicos para simplificar la suma indicada para el primer
l´ımite, y el teorema de compresi´
on para los otros tres:
(a)
(c)
l´ım
n→∞
l´ım
n→∞
1
1
1
+
+ ··· +
1·22·3
n · (n + 1)
n3
(b)
1
1
1
+
+ ··· + 3
+ 1 n3 + 2
n +n
(d)
l´ım
n→∞
l´ım
n→∞
n
n
n
+
+ ··· + 2
n2 + 1 n2 + 2
n +n
(1 +
√
(n − 1)!
√
√
1) · (1 + 2) · · · (1 + n)
3. Estudiar la existencia de los siguientes l´ımites, y calcular su valor o el de sus l´ımites laterales, cuando existan:
√
√
|x|
|x|
x x−x+ x−1
x2 + x − 6
(b) l´ım 2
(c) l´ım
(d) l´ım e x
(a) l´ım
2
x→0 x + x
x→1
x→0
x→2
x−4
x−1
1
4. Demostrar que no existe l´ım sen . Estudiar la existencia de los l´ımites:
x→0
x
(a)
l´ım
2 + sen
x→0
1
x
(b)
x
l´ım
x→0
2 + sen
1
x
5. Dadas las funciones f y g dar una expresi´on de f ◦ g y de g ◦ f , dar su dominio de definici´on y estudiar su
continuidad:
(a) f (x) = 1 − x
g(x) = x2 + 2x
|x|
x
g(x) =
0
(b) f (x) = x + 5
2x
(c)
si x ∈ [0, 1]
f (x) =
si x = 0
si x= 0
x2
si x ∈ [0, 1]
0
en otro caso
g(x) =
1
en otro caso
1
6. Calcular los siguientes l´ımites si existen, o justificar en caso contrario que no existen:
(a)
(d)
(g)
1 1
−
x 4
l´ım
x→4
1
x−4
l´ım
l´ım
x4
3x3 + 2x2 + x
(e)
l´ım
sen2 x2
x2
(h)
x→0
x→0
x+π
x→−π sen x
√
x−3
(m) l´ım
x→3 |x − 3|
√
x−1
(p) l´ım
x→1 x − 1
√
3
x−1
(s) l´ım
x→1 x − 1
(j)
(b)
1
l´ım h 1 +
h→0
hl´ım
(k)
(n)
(q)
(t)
(c)
2x
8
+
x+4 x+4
x→−4
(f)
l´ım
x→0
x2
1 − cos 2x
(i)
l´ım
|x| − x
(l)
x→1+
√
x−1
l´ım
x→0+ x − 1
√
x+5−3
l´ım
x→4
x−4
l´ım
x→∞
4
1
h2
l´ım
1
h→0
1−
h
sen x
l´ım
x→0
x2
1−
sen2 x
x(1 − cos x)
l´ım
x→0
|x| − x
l´ım
x→1−
√
(o)
(r)
x4 + 1 − x4
(u)
x−1
x−1
l´ım
x→0−
l´ım
tg2 2x
3x2
l´ım
sen x − sen a
x−a
x→0
x→a
7. Calcular los siguientesl´ımites si existen, o justificar en caso contrario que no existen:
(a)
(d)
(g)
(j)
(m)
(p)
(s)
(v)
2x − sen x
l´ım √
x→0
1 − cos x
√
1 − 1 − x2
l´ım
x→0
x2
l´ım
x→0
x2 (1 − cos x)
sen4 x
l´ım (1 + 2h)4/h
h→0
√
(b)
(e)
(h)
(k)
l´ım
x→∞
l´ım
x→2
l´ım
x→0
l´ım
x→a
3
x3
+1−x
x2 − 2x
x2 − 4x + 4
3x3
sen x + 16x5
ln x − ln a
x−a
l´ım (1 + x2 )1/x
(n)
l´ım
sen 2x
e3x − 1
(q)
1 − cosx
x→0
x2 /2
l´ım x
x
(t)
2x + 5 x
2
x→0
x→0
x→0
l´ım (1 + 2x + 3x )1/x
x→∞
(w)
l´ım (1 + x)1/x
2
x→0
l´ım
l´ım
x→0
sen2 x
x→0 1 − cos x
l´ım
2
3
(c)
(f)
(i)
(l)
(o)
(r)
l´ım
x→a
√
x− a
x−a
l´ım x2 sen
x→0
l´ım
x→0
1 − cos x
x
l´ım (1 − x)1/x
x→0
l´ım
x→a
ex − ea
x−a
l´ım x ln x
x→0+
1/x
(u)
1
x
l´ım x1/x
x→∞
8. Dadas las funciones
x
1
f (x) =
2
x
h(x) =
si x < 0
√
si x = 0
g(t) =
t−3
t2 + 1
si t > 3
si t < 3
si x > 0
1
x
1
3
x + 2x2
1
2
x −4
si x > 0
si − 2 < x < 0
si x < −2
hallar los siguientes l´ımites:
(a)
(f)
l´ım f (x)
(b)
x→−2
l´ım g(t)
(g)
t→7
l´ım f (x)
(c)
l´ım h(x)
(h)
x→0
x→2
l´ım f (x)
(d)
l´ım h(x)
(i)
x→3
x→0
l´ım g(t)
(e)
x→−1
l´ım g(t)
t→−3
l´ım h(x)x→−2
9. Calcular el l´ımite l´ım f (x) sabiendo que:
x→0
2 − |x| ≤ f (x) ≤ 2 + |x| ∀x = 0
10. Calcular el l´ımite l´ım f (x) sabiendo que:
x→0
f (x)
≤ M ∀x = 0
x
11. Extender por continuidad la funci´
on f (x) =
x2 − 4
.
x−2
12. Demostrar que la funci´
on dada es continua pero no es derivable en el valor x = 0:
f (x) =
3x
si
x<0
−4x
si
x≥0
13. Encontrar la derivada de las...
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