Relaciones

Producto cartesiano:
Para los conjuntos el producto cartesiano de A y B, que se lee “A por B” y se denota AxB, es igual al conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primer componente pertenece al conjunto A y cuya segunda componente pertenece al conjunto B.
A x B = Los elementos (a, b) son pares ordenados. Para (a, b), (c,d) Î AxB, tenemos que (a, b)=(c, d) si y sólo si a = c y b =d.
Cardinalidad del producto cartesiano: |AxB|= |A|.|B|
Ejemplo: Dados U= { 1..7}, A={2, 3 ,4} y B={4, 5}, hallar AxB, BxA, A2, B2, B3.
AxB={(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5)} (|AxB|=3.2=6
BxA={(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(4,4),(5,5)} (|BxA|=2.3=6
A2={(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)} (|AxA|=3.3=9)
B2={(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)} (|BxB|=2.2=4)B3={(4,4,4),(4,4,5),(4,5,4),(4,5,5),(5,4,4),(5,4,5),(5,5,4),(5,5,5)} (|BxBxB|=2.2.2=8)
Ej 1: Dados U= { 1..10}, A={2, 3} y B={1, 4, 6}, hallar AxB, BxA, A2, B2, A3.
Ej 2: Dados U= { 1, 2, 3, 4, 5}, A={1, 2, 3}, B={2, 4, 5} y C={3, 4, 5}, hallar AxBxC, BxAxC, CxAxB y BxCxA.
Ejemplo: AxBxC={(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,4,3), (1,4,4), (1,4,5), (1,5,3), (1,5,4), (1,5,5), (2,2,3), (2,2,4), (2,2,5), (2,4,3), (2,4,4), (2,4,5),(2,5,3), (2,5,4), (2,5,5), (3,2,3), (3,2,4), (3,2,5), (3,4,3), (3,4,4), (3,4,5), (3,5,3), (3,5,4), (3,5,5)}(|AxBxC|=3.3.3=27)
Relación:
Dados dos conjuntos fórmulacualquier subconjunto de AxB es una relación binaria de A en B.
Cualquier subconjunto de AxA es una relación binaria en A.
Ejemplos de relaciones:
Empresa y su número telefónico; Persona y su número de cédula de identidad; Padre e hijo;Países de Sudamérica y sus capitales.
Matemáticas: Número entero y sus divisores; Número entero y sus múltiplos; Número entero y sus potencias; Número entero y sus divisores; Número entero y otro número entero mayor que el primero.
Informáticas: Un programa y una de las variables que emplea; un lenguaje de programación y las sentencias válidas de ese lenguaje.

Formas de representación deuna relación:
Diagramas de Venn
Por ejemplo dados A={a, b, c, d} y B={1, 2, 3, 4, 5} Representa la siguiente relación:
Â={(a, 1), (a, 5), (b, 4), (d, 3)}

2
3
4
5
1

a
d
c
b
A
B


Ejemplo 2 dados A={0, 1, 2} y B={a, b} Representa la siguiente relación:
Â={(0, a), (0, b), (1, a), (2, b)}
1

0

1
1

1

0
1

x
x
x
x
b
a
a
2
1
0

2

0
b

Grafo:MatrizMatriz

Ej. 3. Dada A={1, 2, 3, 4} y Â={(a, b) / a “divide a” b)} a) Hallar  b) Representar  con Diagrama de Venn, Grafo, Tabla y Matríz.
Ej. 4. Dadas las relaciones en el conjunto de los números enteros menores que 5: ¿Qué pares ordenados pertenecen a las siguientes relaciones? Mostrar a través de Diagramas de Venn, Grafo, Tabla y Matriz: Â1={(a, b) / a “menor o igual a” b}; Â2={(a, b) /a “mayor a” b};
Â3={(a, b) / a=b+1}; Â4={(a, b) / }
Ej. 5. Si el conjunto Â5={(a, b) / a=b o a=-b} y Â6={(a, b) / a=b}

Dominio o conjunto salida de una relación: es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la relación.
Codominio o conjunto de llegada de una relación: es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados.

Ej. 6: Dados los conjuntosA={2, 3, 5, 8, 9} y B={3, 4, 6, 7, 9} y la relación Â={(x, y) / y=x+1}. Definir por extensión, diagrama de Venn, grafo, tabla y matriz. Determinar Dominio, y codominio.
Ej. 7: Dada una relación en A={2, 3, 4, 5} definida por x e y primos entre si (es decir que el único divisor común es el 1): Definir por extensión, diagrama de Venn, grafo, tabla y matriz. Determinar Dominio, y codominio.
Ej 8:Enumera los pares ordenados de la relación  de A={0, 1, 2, 3, 4} en B={0, 1, 2, 3} donde
(a, b) ÎÂ si y sólo si a) a=b b) a+b=4 c) a>b d) a/b (entero)
Ej 9: Representa mediante grafos dirigidos la relación Â={(1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}
Ej 10: Representa cada una de esta relaciones en el conjunto {1, 2, 3} mediante una matriz y una tabla (con los...