Relaciones

RELACIONES



Las relaciones son muy importantes en matemáticas y sobretodo en computación, pues vienen a ser una herramienta fundamental en Bases de Datos, Programación, etc.; casi en cualquier tópico de una u otra forma se utiliza el concepto de relación. El término relación es muy amplio y se puede conceptualizar en términos muy generales, pero la idea central es muy simple yentendiendo el concepto se puede aplicar en cualquier situación por diversa que sea.
Una relación es una asociación entre elementos u objetos, generalmente de dos conjuntos arbitrarios. Una manera de formalizar el concepto y al mismo tiempo hacerlo práctico para usarse en computación es considerar una relación como un conjunto de pares ordenados. Esto se puede extender posteriormente a tuplos paradefinir relaciones de varios elementos.
Primeramente empezaremos por el concepto de producto cartesiano entre conjuntos.
A diferencia de un conjunto en un par ordenado (a,b), importa el orden de los elementos. Si se consideran los conjuntos A y B y formamos parejas o pares ordenados con los elementos de A como primeros elementos y los de B como segundos, se obtiene un conjunto llamado productocartesiano. Esto es:
Definición. A x B = {(a,b) : a ∈ A, b ∈ B }
Ejemplo: A= {1,2,5}, B = {2,3}
A x B = (1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(5,2),(5,3)
Con el producto cartesiano podemos establecer la definición formal de relación.
Definición. Una relación R de A a B es un subconjunto de A x B. Los elementos de A que aparecen en la relación forman el dominio y los de B forman el rango.
Notación: R ⊆ A X BDOM( R ) = {x : (x,y) ∈ R }
RAN( R ) = {y : (x,y) ∈ R }
O sea que una relación de A a B es un conjunto de pares ordenado, donde los primeros elementos pertenecen al conjunto A y los segundos a B.
ejemplo:

Llamamos Relación de A en B a cualquier subconjunto del Producto Cartesiano de A·B
A = {a,b}, B= {1,2,3}
R = {(a,1); (a,3); (b,2); (b,3)}
Gráficos:
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MR1= 1 0 1
0 1 1
Matriz booleana Tabla Simple Doble entrada


Llamamos Dominio (D) de una relación al conjunto de elementos del primer conjunto que son primer componente de algún par de la relación.
Llamamos Imagen ( I) al conjunto de elementos del segundo conjunto que son segunda componente de algún par.
La Relación Complementaria (R) de otra dada es ladiferencia entre el producto cartesiano de A·B y la relación R definida de A® B
La Relación Inversa (R¯¹) es la relación que contiene a los pares (x,y) / (y,x) Î R

RELACIONES DEFINIDAS DE UN CONJUNTO EN SI MISMO (A® A)
Reflexividad: Una relación es Reflexiva cuando para cada x Î A, el par (x,x) Î a la relación. Si está escrita en forma de pares, deben figurar tantos pares (x,x) como elementostenga el conjunto. Si está dado matricialmente, la diagonal principal debe ser toda de "1". Si algunos pares (x,x) figuran y otros no, la relación es No Reflexiva. Si ningún par (x,x) figura, la relación es Areflexiva.
Simetría: Una relación es Simétrica si todo par tiene su inverso en la relación. Si algunos pares tienen simétrico y otros no, la relación es No Simétrica. Si ningún par tienesimétrico, la relación es Antisimétrica.
Transitividad: Una relación es Transitiva si existiendo en la relación dos pares del tipo (x,y);(y,z), entonces aparece también el par (x,y).
CLAUSURA DE UNA RELACIÓN:
Clausura Reflexiva: Es la menor relación reflexiva que contiene a la dada. Si la relación es reflexiva, es su propia Clausura Transitiva. Si la relación está dada por una matriz booleana, laClausura Reflexiva se obtiene completando con 1 la diagonal principal.
Clausura Simétrica: Es la menor relación simétrica que contiene a la dada. Si una relación es simétrica, es su propia Clausura Simétrica. Si la relación está dada como matriz booleana, se cambian los 1 por 0 necesarios para que sea simétrica respecto de la diagonal principal.
Clausura Transitiva: Es la menor relación...