Resistencia de materiales Vigas

E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos
Barcelona

Problemas de
Resistencia de Materiales y
Estructuras
Juan Miquel Canet

©Juan Miquel Canet
Problemas de Estructuras
Versión 12.01

Capítulo 1:
Análisis de tensiones

Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Análisis de tensiones

2

Problema 1.1. Dado el tensor de tensiones (las unidades son MPa),
120 75 
T

 75 300
determinar los planos en los cuales las tensiones tangenciales son nulas (planos principales).
Hallar asimismo el valor de las tensiones normales en dichos planos (tensiones principales).

Fig. 1 Tensor de tensiones

Solución
Obsérvese la figura 2 en la cual un rectángulo elemental de dimensiones dz1 , dz2 se corta por un
plano AB de cosenos directores N=[l,m]tsiendo l = cos α , m = sin α. Haciendo el equilibrio de
fuerzas en dirección N y en la dirección normal a N, se tiene respectivamente
.

 1 AB   1 OB cos    OB sin    OA cos    2 OA sin   0
  AB   1 OB sin    OB cos    OA sin    2 OA cos   0

es decir,

 1   1 cos 2    2 sin 2    sin 2
 1
  2
sin 2   cos 2
2

Haciendo en lasanteriores ecuaciones    0 se obtiene el valor del ángulo αp correspondiente
al plano principal,

tan 2 p 

2
2  75

 0,375
 1   2  120  300

Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Análisis de tensiones

3

Fig. 2. Tensiones en un plano cualquiera

tan 2 p 

2
2  75

 0,375
 1   2  120  300

 p1  9,83º
 p 2  80,17º
Por lo querespecta a las tensiones, sustituyendo en el valor de   se obtiene

 I   ( p1 )   (9,83)  120 cos 2 (9,83)  300 sin 2 (9,83)  75 sin( 2  9,83)  132,99 MPa
 II   ( p 2 )   (80,17)  120 cos 2 (80,17)  300 sin 2 (80,17)  75 sin( 2  80,17)  312,99 MPa
En la figura 3 pueden verse representados los valores anteriores.

Fig. 3 Planos y tensiones principales

JuanMiquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Análisis de tensiones

Problema 1.2. En el estado de tensión plana representados en la figura 1 determinar:
a) Tensiones que actúan sobre el plano AB
b) Direcciones principales
c) Tensiones principales

Fig. 1 Estado de tensión plano

Solución
a) Las tensiones   y   sobre el plano AB valdrán, (ver problema 1.1)

   40 cos 2 30  10sin 2 30  15 sin(2  30)  19,51 MPa

 

10  40
sin(2  30)  15 cos(2  30)  20,49 MPa
2

Sobre el plano CD:

   40 cos 2 120  10 sin 2 120  15 sin(2  120)  30,49 MPa

 

10  40
sin(2  120)  15 cos(2  120)  20,49 MPa
2

b) A partir de los resultados obtenidos en el problema 1.1

tan 2 p 

 2  15
 1
40  10

4

Juan Miquel Canet. Problemas deEstructuras. Cap. 1: Análisis de tensiones

 p1  22,5º
 p 2  67,5º
c) Se obtendrán las tensiones principales
2

40  10
 40  10 
2
I 
 
  15  46,21 MPa
2
 2 
2

 II

40  10
 40  10 
2

 
  15  3,79 MPa
2
 2 

En la figura 2 pueden verse representados los planos y las tensiones principales.

Fig. 2 Tensiones y planos principalescorrespondientes al problema resuelto 1.2

5

Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Análisis de tensiones

6

Problema 1.3 Con respecto a la pieza en tensión plana que se indica en la figura.1,
determinar el tensor de tensiones.

Fig.1 Pieza sometida a tensión plana correspondiente al problema resuelto 1.3

Solución
Partiendo de los resultados obtenidos en el problema 1.1

50  1 cos 2 70  20 sin 2 70   sin(2  70)
20   1
 10 
sin( 2  70)   cos(2  70)
2
Resolviendo el sistema anterior,

 1  121,51 MPa
  72,43 MPa
El tensor de tensiones se escribirá por tanto

 121,51 72,43

20 
 72,43


Juan Miquel Canet. Problemas de Estructuras. Cap. 1: Análisis de tensiones

► Problema 1.4

7

El elemento plano de la figura 1...