Resistencia De Materiales
Páginas: 29 (7078 palabras)
Publicado: 13 de noviembre de 2012
CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II
Apuntes de Clases
Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 50
4
RELACIONES CONSTITUTIVAS. LEY DE HOOKE GENERALIZADA
Introducción:
4.1
En este capítulo se establecerán las relaciones constitutivas que describen el comportamiento de los materiales. Se consideraran procesos isotérmicos y se utilizará tensores cartesianos en su descripción. Se describirá laconcepción moderna de la ley de Hooke y se analizará como su versión mas generalizada puede ser “reducida” al caso de cuerpos homogéneos e isotrópicos, estableciéndose las ecuaciones básicas de la elasticidad. 4.2 Ley de Hooke Generalizada
Un medio se dice que es elástico si posee un estado natural, en el cual esfuerzos y deformaciones son cero, y al cual se puede “volver” luego de que las fuerzasaplicadas son removidas. Bajo cargas aplicadas, los esfuerzos y las deformaciones “cambian” juntos, y las relaciones entre estos, denominadas relaciones constitutivas, son una importante característica de los medios. Estas relaciones constitutivas iniciaron su desarrollo hace más de 300 años atrás, con las determinaciones experimentales desarrolladas por Robert Hooke sobre “cuerpos elásticos”.Hooke concluyó que el esfuerzo es proporcional a la deformación. Ejemplo: Ensayo barra a tracción: Un caso ilustrativo de este concepto, corresponde al análisis unidimensional de un ensayo de tracción de una barra de acero. En este caso, la tensión por unidad de área transversal de la barra, es proporcional al alargamiento unitario de ésta, tal como se esquematiza en la figura adjunta. Se apreciaque, en cierta zona la relación entre el alargamiento unitario y la tensión, se puede considerar “lineal”, pudiendo identificarse el valor de la pendiente de esta recta, como la constante
CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II
Apuntes de Clases
Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 51
que relaciona estas variables. 4.3 Forma Tensorial de la Ley de Hooke Generalizada
La forma “moderna” de la Ley deHooke Generalizada establece que cada componente del tensor de tensiones es una combinación lineal de todos los componentes del tensor de deformación:
σ ij = cijkl ⋅ ekl ,
4.3.1
cijkl = ctes.
Caso general de un cuerpo linealmente elástico
Se dice que un cuerpo es linealmente elástico si obedece a la relación constitutiva recién enunciada. Como se sabe, las cantidades
cijklcorresponden, a un tensor de cuarto orden, con
3 4 = 81 componentes.
4.3.2 Simetría del Tensor de Tensiones
Si se considera la simetría del tensor de tensiones siguiente simetría del tensor
σ ji = σ ij ,
se puede establecer la
cijkl :
c jikl = cijkl .
4.3.3 Simetría del Tensor de Deformaciones
Análogamente al caso anterior, si se considera la simetría del tensor de deformacionese ji = eij , se puede establecer la siguiente simetría del tensor cijkl :
cijlk = cijkl .
Considerando ambos casos, la simetría del tensor de tensiones y la simetría del tensor de deformaciones, el número de constantes elásticas independientes del tensor reduce a 36.
cijkl
se
CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II
Apuntes de Clases
Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 52
4.3.4Existencia de una Función Energía de Deformación
Adicionalmente a lo anterior, consideraremos el argumento termodinámico de la existencia de una función de energía interna por unidad de volumen. La existencia de esta función podría establecerse a partir de la primera ley de la termodinámica, que relaciona el cambio de la energía interna de un cuerpo (ya sea cinética o de deformación), con el trabajohecho sobre él (mecánico o de calentamiento). Para el caso de procesos adiabáticos o isotérmicos, la función energía de deformación puede establecerse como:
W=
1 1 cijkl eij ekl = σ ij eij . 2 2
Esta función posee la propiedad de simetría del tensor
∂W = σ ij = cijpq e pq , lo cual implica la siguiente ∂eij
cijkl :
cklij = cijkl .
Con esta última consideración, el número de...
Apuntes de Clases
Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 50
4
RELACIONES CONSTITUTIVAS. LEY DE HOOKE GENERALIZADA
Introducción:
4.1
En este capítulo se establecerán las relaciones constitutivas que describen el comportamiento de los materiales. Se consideraran procesos isotérmicos y se utilizará tensores cartesianos en su descripción. Se describirá laconcepción moderna de la ley de Hooke y se analizará como su versión mas generalizada puede ser “reducida” al caso de cuerpos homogéneos e isotrópicos, estableciéndose las ecuaciones básicas de la elasticidad. 4.2 Ley de Hooke Generalizada
Un medio se dice que es elástico si posee un estado natural, en el cual esfuerzos y deformaciones son cero, y al cual se puede “volver” luego de que las fuerzasaplicadas son removidas. Bajo cargas aplicadas, los esfuerzos y las deformaciones “cambian” juntos, y las relaciones entre estos, denominadas relaciones constitutivas, son una importante característica de los medios. Estas relaciones constitutivas iniciaron su desarrollo hace más de 300 años atrás, con las determinaciones experimentales desarrolladas por Robert Hooke sobre “cuerpos elásticos”.Hooke concluyó que el esfuerzo es proporcional a la deformación. Ejemplo: Ensayo barra a tracción: Un caso ilustrativo de este concepto, corresponde al análisis unidimensional de un ensayo de tracción de una barra de acero. En este caso, la tensión por unidad de área transversal de la barra, es proporcional al alargamiento unitario de ésta, tal como se esquematiza en la figura adjunta. Se apreciaque, en cierta zona la relación entre el alargamiento unitario y la tensión, se puede considerar “lineal”, pudiendo identificarse el valor de la pendiente de esta recta, como la constante
CI 42F MECÁNICA DE SÓLIDOS II
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Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 51
que relaciona estas variables. 4.3 Forma Tensorial de la Ley de Hooke Generalizada
La forma “moderna” de la Ley deHooke Generalizada establece que cada componente del tensor de tensiones es una combinación lineal de todos los componentes del tensor de deformación:
σ ij = cijkl ⋅ ekl ,
4.3.1
cijkl = ctes.
Caso general de un cuerpo linealmente elástico
Se dice que un cuerpo es linealmente elástico si obedece a la relación constitutiva recién enunciada. Como se sabe, las cantidades
cijklcorresponden, a un tensor de cuarto orden, con
3 4 = 81 componentes.
4.3.2 Simetría del Tensor de Tensiones
Si se considera la simetría del tensor de tensiones siguiente simetría del tensor
σ ji = σ ij ,
se puede establecer la
cijkl :
c jikl = cijkl .
4.3.3 Simetría del Tensor de Deformaciones
Análogamente al caso anterior, si se considera la simetría del tensor de deformacionese ji = eij , se puede establecer la siguiente simetría del tensor cijkl :
cijlk = cijkl .
Considerando ambos casos, la simetría del tensor de tensiones y la simetría del tensor de deformaciones, el número de constantes elásticas independientes del tensor reduce a 36.
cijkl
se
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Autor: Juan Gmo. Valenzuela B . 52
4.3.4Existencia de una Función Energía de Deformación
Adicionalmente a lo anterior, consideraremos el argumento termodinámico de la existencia de una función de energía interna por unidad de volumen. La existencia de esta función podría establecerse a partir de la primera ley de la termodinámica, que relaciona el cambio de la energía interna de un cuerpo (ya sea cinética o de deformación), con el trabajohecho sobre él (mecánico o de calentamiento). Para el caso de procesos adiabáticos o isotérmicos, la función energía de deformación puede establecerse como:
W=
1 1 cijkl eij ekl = σ ij eij . 2 2
Esta función posee la propiedad de simetría del tensor
∂W = σ ij = cijpq e pq , lo cual implica la siguiente ∂eij
cijkl :
cklij = cijkl .
Con esta última consideración, el número de...
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