Resp

TEOREMA DE ROLLE
Si una función f(x) es 1. continua en un intervalo cerrado [a, b] 2. derivable en el intervalo abierto (a, b) 3. f(a) = f(b) entonces existe al menos un punto c tal que f´(c) = 0Geométricamente, este teorema expresa la existencia de un punto c de (a, b) tal que la recta tangente en (c, f(c)) es paralela al eje OX Por ser f(x) continua en el intervalo cerrado [a, b], lafunción alcanza un máximo y mínimo (teorema de Weierstrass). De este hecho se obtienen tres posibilidades, tal como se indica en las siguientes figuras:

Y
f´(c)=0

Y

Y
f´(c)=0 f(a)=f(b)f(a)=f(b) f(a)=f(b) O a c b X O a f´(c)=0 c b X O a b c

Si el valor máximo o mínimo se presenta en un punto c de (a, b), entonces por el teorema de la derivada en un punto máximo, f´(c) = 0 Si los valoresmáximo y mínimo se presentan ambos en los extremos, entonces son iguales, ya que f(a) = f(b), luego la función f(x) es constante. Por tanto, para todo punto c de (a, b), f´(c) = 0

TEOREMA DELVALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL O TEOREMA DE LAGRANGE
Si una función f(x) es   Continua en un intervalo cerrado [a, b] Derivable en el intervalo abierto (a, b)

Entonces existe al menos un puntointerior c de (a, b) tal que

Lo cual equivale a

Nenina Martín Ossorio 1

Expresión que recibe el nombre de fórmula de incrementos finitos. La interpretación geométrica del teorema de Lagrangenos dice que si la gráfica de una función continua tiene tangente en todo punto del arco AB, entonces hay por lo menos un punto C en el que la tangente es paralela a la secante AB.

Y

B Cf(b)-f(a)

A

O

a

c b–a

b

X

Ejercicios resueltos
1.- Dada la función f(x) = x2 – 4x + 1, ¿verifica las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [1, 3]? En caso afirmativo,encontrar el valor de c de (1, 3) donde se anula la derivada. Solución: Teorema de Rolle Si una función f(x) es 1. Continua en un intervalo cerrado [a, b] 2. Derivable en el intervalo abierto (a, b) 3....