Resuesltos

Aplicacion: Una correspondencia f entre dos conjuntos A y B recibe el nombre de aplicacion, si a
todo elemento del conjunto A le corresponde un solo elemento del conjunto B.
1.{ Razonar cuales de las siguientes correspondencias entre los conjuntos
A = f1; 2; 3; 4g y B = fa; b; c; d; eg
son aplicaciones y cuales no:
f -1(t) : antiimágenes de un elemento t"Y
Ejemplo II.3.1
Sean losconjuntos
X = {1,2,3,4} e Y = {a,b,c,d,e}
y las correspondencias entre X e Y definidas por los diagramas
h : X Y
abc
de
1234
g: X Y
abc
de
1234
f : X Y
abc
de
1234
Se verifica que
h no es aplicación pues 4 no tiene imagen
g no es aplicación pues 1 tiene dos imágenes
h : A - B g : A - B f : A - B
Para las correspondencias que sean aplicaciones justicar cual o cuales son inyectivas,suprayectivas y/o
biyectivas.
Solucion Una correspondencia f entre dos conjuntos A y B recibe el nombre de aplicacion, si a todo
elemento del conjunto A le corresponde un solo elemento del conjunto B.
Es decir, de cada uno de los elemento del conjunto A ha de salir una unica
echa hacia B para que
alguna de estas correspondencias sea aplicacion.
Por lo tanto:
h no es aplicacion puesal elemento 4 de A no le corresponde ningun elemento de B.
g no es aplicacion pues al elemento 1 de A le corresponden dos elementos de B.
f s es aplicacion pues a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo elemento del conjunto
B.
Vamos a estudiar si la aplicacion f es inyectiva, suprayectiva y/o biyectiva.
Para que f sea inyectiva a cada elemento de B ha de llegar como muchouna
echa,; es decir los
elementos de B tienen como mucho una antimagen. Por tanto f no es inyectiva pues el elemento a de
B tiene dos antimagenes. Es decir:
f(1) = f(2) pero 1 6= 2
Para que f sea suprayectiva a cada elemento de A ha de llegar al menos una
echa; es decir, todos
los elementos de B deben de tener al menos una antimagen. Por tanto f no es suprayectiva pues el
elemento c de Bno tiene antimagen. es decir:
@ x 2 A=f(x) = c
Para que f sea biyectiva a todos y cada uno de los elementos de B ha de llegar exactamente una
echa.
O lo que es lo mismo, una aplicacion es biyectiva si y solo si es inyectiva y suprayectiva. Por lo tanto
f no es biyectiva.
Composicion de aplicaciones: Sean f una aplicacion de A en B y g una aplicacion de B en C.
Construimos una terceraaplicacion, h = g  f, de A en C del modo siguiente:
h(x) = g (f(x)) ; 8x 2 A
1
Esta construccion se suele representar esquematicamente del modo siguiente:
A
f
! B
g
! C
x ! f(x) ! g (f(x)) = h(x)
6
h = g  f
2.{ Consideremos las aplicaciones:
f(x) = 3x2 + 4 y g(x) = 2x 5
Construir las aplicaciones (g  f)(x) y (f  g)(x)
Solucion
Como para todo elemento x del dominio de laaplicacion f que es R se cumple que f(x) 2 Dom(g) = R,
tenemos que Dom(g  f) = R. Ademas:
(g  f)(x) = g (f(x)) = g(3x2 + 4) = 2(3x2 + 4) 5 = 6x2 + 3
Inversa de una aplicacion inyectiva: Si f : A ! B es una aplicacion biyectiva, existe una
aplicacion que denotaremos f1 denida del modo siguiente:
f1 : B ! A
y ! x = f(x) = y
que cumple:
f  f1

(y) = y 8y 2 B ;

f1  f


(x) = y8x 2 A;
es decir:
f  f1 = IB y f1  f = IA
Esta aplicacion, que es unica y existe si y solo si la aplicacion f es biyectiva, se denomina la aplicacion
inversa de f.
Si f es una aplicacion inyectiva en A y denotamos por B el conjunto imagen de f, es decir, B = Im f,
como para cada elemento y 2 B existe un unico elemento x 2 A tal que f(x) = y, podemos denir la
aplicacion inversa def de la siguiente manera:
f1 : B ! A
y ! x = f(x) = y
3.{ Calcular la aplicacion inversa de f : R
1
3

! R f0g denida por:
f(x) =
1
3x 1 8 x 2 R

1
3

Solucion Para calcular la inversa de una aplicacion inyectiva procedemos del modo siguiente.
Si y 2 Im f entonces existe un unico x 2 Dom f tal que y = f(x) o, lo que es lo mismo, con x = f1(y).
Por lo tanto, podemos...