ResumenT1

UNIVERSIDAD

Departamento de Análisis Económico

DE

MATEMÁTICAS I

ZARAGOZA
Tema 1

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales
Matrices
( Mm×n es el conjunto de matrices de m filas y n columnas con coeficientes reales)

a
a12
 11
a
a2 2
A =  21
M
 M
a
 m1 am2
Suma de matrices:

L a1n 

L a2 n 
 = ai j
O
M 
L amn

A, B ∈ Mm×n,

Si

m n

( )i =1 j=1 = (ai j) ∈ Mm×nentonces

A + B = C ∈ Mm×n

con

ci j = ai j + bi j

∀i = 1, L , m , ∀j = 1, L , n .
Producto de un escalar por una matriz: Si A ∈ Mm×n y λ ∈ 5 , entonces λ ⋅ A = B ∈ Mm×n
con bi j = λ ⋅ ai j ∀i = 1, L , m , ∀j = 1, L , n .
Producto de matrices:

Si

A ∈ Mm×p

y

B ∈ Mp ×n, entonces

A ⋅ B = C ∈ Mm×n con

p

ci j =

∑ ai k bk j

∀i = 1, L , m , ∀j = 1, L , n .

k =1

Matriz traspuesta de A ∈ Mm×n esla matriz A t ∈ Mn×m cuyo elemento de la fila i y la
columna j es a ji , elemento de la fila j y la columna i de A.
Matriz simétrica: A ∈ Mn es simétrica ⇔ ai j = a ji ∀i, j = 1, L , n ⇔ A = A t .

Determinante de una matriz cuadrada
Menor complementario: Dada A ∈ Mn, se llama menor complementario de ai j, y se
representa por αi j , al determinante de la submatriz de A que se obtiene al eliminaren A la
fila i y la columna j.
Adjunto: Dada A ∈ Mn, se llama adjunto de ai j al número real Ai j = (−1)i + j αi j .
Matriz adjunta de A ∈ Mn es la matriz Adj (A) = (Ai j) ∈ Mn, es decir, la matriz formada por
los adjuntos de sus elementos.
Determinante: Dado A ∈ Mn, determinante de A es el número real:
i) | A | = a11, si n=1.
n

ii) | A | =

n

∑ ai j Ai j = ∑ ai j Ai j , siendo 1 ≤ i, j ≤ n, sin>1.
i =1

j =1

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Proposición: a) | A | = a11 ⋅ a2 2 − a12 ⋅ a2 1 para toda A ∈ M2 .
b ) | A | = a11 ⋅ a2 2 ⋅ a33 + a13 ⋅ a2 1 ⋅ a32 + a12 ⋅ a2 3 ⋅ a31 − a13 ⋅ a2 2 ⋅ a31 − a11 ⋅ a2 3 ⋅ a32 − a12 ⋅ a2 1 ⋅ a33
para toda A ∈ M3 (Regla de Sarrus).

Operaciones elementales
Operación elemental por filas en unamatriz A ∈ Mm×n es una de las tres operaciones
siguientes:
1.- intercambiar dos filas.
2.- sustituir una fila por la suma de ella misma y otra fila multiplicada por un escalar
λ ∈ 5.
3.- multiplicar una fila por un escalar λ ∈ 5 , λ ≠ 0.
Análogamente se define operación elemental por columnas.
Operación elemental es toda operación elemental por filas o por columnas.
Operaciones elementales aplicadas alcálculo de determinantes:
• Si se intercambian dos filas (columnas) de A ∈ Mn para obtener B ∈ Mn, se tiene que
| A | = − | B |.
• Si a una fila (columna) de A ∈ Mn le sumamos otra multiplicada por un escalar para
obtener B ∈ Mn, se tiene que | A | =| B |.
Si una fila (columna) de A ∈ Mn la multiplicamos por un escalar no nulo λ para
1
obtener B ∈ Mn, se tiene que | A | = | B |.
λ
•

Cálculo dela matriz inversa
Matriz regular: A ∈ Mn es una matriz regular si existe A −1 ∈ Mn elemento inverso de A tal
que A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = In. En caso contrario A es singular.
Proposición: A ∈ Mn es regular ⇔ | A |≠ 0. En este caso A −1 =

1

(Adj (A))
|A|

t

.

Operaciones elementales aplicadas al cálculo de matrices inversas: Si efectuamos
operaciones elementales (todas por filas o todas porcolumnas) a la matriz A ∈ Mn regular
hasta obtener la matriz In y las mismas operaciones elementales las efectuamos a la matriz

In, la matriz obtenida en este segundo caso es A −1 .

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Rango de una matriz
Menor de orden h: Dada A ∈ Mm×n, se llama menor de orden h al determinante de la
submatriz de A obtenida aleliminar en A m-h filas y n-h columnas ( 0 ≤ h ≤ m , n).
Menor principal de orden h: Dada A ∈ Mm×n, se llama menor principal de orden h, y se
denota por ∆ h, al menor de orden h que se obtiene al eliminar en A las m-h últimas filas y
n-h últimas columnas de A ( 0 ≤ h ≤ m , n).
Rango de una matriz A ∈ Mm×n es el número natural que expresa el mayor de los órdenes
de los menores no nulos de la matriz A,...