Reynolds

MECANICA DE FLUIDOS
GUIA. TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS.


1. INTRODUCCION

Existen básicamente dos formas de describir el movimiento de un fluido. La primera manera llamada lagrangiana consiste en fijar la atención sobre una porción muy pequeña del fluido en movimiento.
En la descripción llamada euleriana fijamos la atención en un punto (x; y; z) en el espacio.
Nos interesaconocer las características del flujo como velocidad, densidad, temperatura, etc. de las partículas que pasen por este punto como función del tiempo.
Para aplicar las leyes físicas al flujo de un fluido es necesario de definir los conceptos de volumen de control y de sistema. Se entiende por volumen de control una región fija en el espacio donde puede existir flujo de fluido a través de sus fronteras.Por esta razón, en diferentes instantes, se pueden tener diferentes partículas en el interior del volumen del control. Sistema se refiere a un conjunto de partículas en el cual permanecen siempre las mismas. Es decir, se esta observando siempre una cantidad fija de materia.

2. DESARROLLO TEMATICO

El teorema de transporte de Reynolds relaciona, la derivada lagrangiana de una integral devolumen de un sistema, con una integral en derivadas eulerianas.
Un flujo de masa es la velocidad con la cual atraviesa un área como se indica en la fig-1.




Fig-1 flujo de una propiedad extensiva.

Consideramos un dA de la superficie de control, donde se expresa como

flujo de dA=ɳρn.V dA (1)
Donde:
ɳ: es la variable de la propiedad intensiva de un sistemapor unidad de masa (Nsist)
ρ: la masa de una partícula de fluido
n.V: vector velocidad; cuando es positiva indica que el flujo sale del volumen, cuando es negativa tiene la componente en dirección opuesta al vector unitario ň.
El flujo neto que sale de la superficie de control se obtiene integrando la superficie de control así:
flujo neto=s.cɳρn.V dA (2)

Tomando la definición de laderivada
DNsistDt=lim∆t→0Nsistt+∆t-Nsist(t)∆t (3)



Fig-2 sistema y volumen de control fijo.

Se indica en los instantes t y (t+∆t); utilizando la ecuación (3) suponemos que el sistema ocupa un volumen de control completo en t así:

DNsistDt=lim∆t→0N3t+∆t+N2t+∆t-N2t-N1t∆t=lim∆t→0N2t+∆t+N1t+∆t-N2t-N1(t)∆t+lim∆t→0N3t+∆t-N1(t+∆t)∆t (4)

Donde:
N1: es la región 1 mostrada en la fig-2.
N2: es la región 2 mostrada en la fig-2.
N3: es la región 3 mostrada en la fig-2.
Al referirnos al volumen de control se transcribe de la siguiente manera:

DNsistDt=lim∆t→0Nv.ct+∆t-Nv.c(t)∆t+lim∆t→0N3t+∆t-N1(t+∆t)∆t (5)
Donde:
Nv.c: es el sistema de volumen de control.

El límite del lado derecho muestra laderivada ordinaria del volumen de control cuando no se esta realizando el seguimiento de las partículas la denotamos así:
DNsistDt=DNv.cdt+lim∆t→0N3t+∆t-N1(t+∆t)∆t (6)

Ahora encontraremos las cantidades de las expresiones N3t+∆t-N1(t+∆t) cuando dependen de la más contenida en el volumen mostradas en la fig-2, así como se muestra en la fig-3 la ampliación de esta zona.

Fig-3 Elementosde volumen diferencial

Donde observamos que el vector unitario n apunta hacia fuera del volumen; para la región d∀1 se requiere un signo negativo para obtener un volumen diferencial positivo, Siguiendo los parámetros de la fig-3 se tiene
N3t+∆t=A3ɳρn.V ∆t dA3 (7.1)
Ecuación para d∀3
N1t+∆t=-A1ɳρn.V ∆t dA1 (7.2)
Ecuación para d∀1

Ya que A3 rodea por completo A1al volumen de control podemos combinar las dos integrales de esta manera

N3t+∆t-N1t+∆t=s.cɳρn.V ∆t dA (8)

Dado que la superficie de control se denota como s.c y se encuentra rodeada por completo por el volumen de control sustituiremos la ecuación (8) en la ecuación (6), obteniendo como resultado el TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS.

DNsistDt=ddtv.cɳρ d∀+ s.cɳρn.V dA...