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Ecuación De Riccati

Es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.Corresponde a una ecuación de la forma:


Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos .

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

yreemplazando, se obtiene:

es decir:


lo que equivale a:


que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio
,
esto nos lleva directamente auna ecuación lineal diferencial de primer orden.

Ejemplo
dy/dx= (1/x)y +(1/x2 )y2 -1 , una solución es y(x)= x
Solución:
Se hace un cambio de variable, para obtener una ecuación diferencial debernoulli luego uno para obtener una ecuación diferencial lineal y así sucesivamente hasta obtener una ecuación diferencial sencilla y fácil de resolver así:

Y=S(X)+ V 

¨{Y=x +V} despejando v: v=y-x(1) 

dy/dx=1 + dv/dx

hacemos la sustitución pertinente

1 + dv/dx=(1/x)(x+v) +[(1/x ^2 )(x+v) ^2 ] -1 

se desarrolla el producto notable y se simplifica la ecuación resultante

1 +dv/dx=1+( v/x)+1 +2(x/v) +(v^2/x ^2 ) -1

acomodando la ecuación diferencial anterior nos queda en la forma bernoulli con n=2 

dv/dx -3( v/x) =(v^2/x ^2 ) 

hacemos otro cambio de variable z=v^(1-n) 
z=v^-1
al derivar 
nos da un factor integrante  el cual multiplicaremos por ambos lados de la igualdad

dz/dx = (-v^-2)(dv/dx)


en este caso es: -v^-2

-v^-2[dv/dx -3( v/x)] =[(v^2/x^2 )] (-v^-2)

al simplificar y sustituir nuevamente nos queda una ecuación línea de primer orden que se puede resolver con el factor integrante que es: rho(x)=e^integral de p(x)dx así: dz/dx-3z=-1/x^2

donde p(x) es -3 

ya lo que les queda es resolver esta ecuación diferencial lineal y devolver los cambios.

















Ecuación Diferencial De Clairaut...