RO10

1
Reducción de orden .
E:

x 2 y 00 C xy 0 C 8y D 0I

y1 D x 4 .

D: H Procedemos proponiendoy2 D uy1 D ux 4 . Al derivar y sustituir obtenemos:
y20 D 4x 3 u C x 4 u 0

y200 D 12x 2 u C 8x3 u 0 C x 4 u 00 :

&

Entonces:
x 2 y200 C xy20 C 8y2 D 0 )

x 2 Œ12x 2 u C 8x 3 u 0 C x 4 u00 C xŒ4x 3 u C x 4 u 0  C 8ux 4 D 0I

simplificando, hallamos:
x 5 .xu 00 C 7u 0/ D 0 ) xu00 C 7u 0 D 0:
Hacemos el cambio de variable w D u 0. Entonces u 00 D w 0 & xw 0 C 7w D 0.Tenemos:
x

dw
dw
C 7w D 0 ) x
D
dx
dx

7w )

dw
D
w

7

dx
:
x

Integrando, obtenemos:
dw
D
w

dx
)ln w D 7 ln x D ln x
x

7

7

:

Aplicando la función exponencial en ambos miembros:
wDx
Porlo tanto, y2 D uy1 D

7

&wD

1
x
6

6

du
Dx
dx

4

y D c1 y1 C c2 y2 D c1 x C c2

20.canek.azc.uam.mx: 2/ 12/ 2010

1
x
6

x4 D
Â

7

2

1
x
6

) uD

x

7

dx D

1
x
6

6

:

. De estaforma, la solución general de la ED es
2

Ã

) y D c1 x 4 C c2 x

2

D c1 x 4 C

c2
:
x2