Rondon Camero

EJERCICIOS: TEMA 6
1. Calcular los puntos interiores, exteriores, frontera, adherentes, de acumulacion y aislados de los conjuntos siguientes:
A=
B

=

C
D
E

=
=
=

1
> 0; x 3
5xx2 + 1
x 2 R=
>0
x3
fx 2 R= x + 2 < 0g [ ([ 5; 8) \ N)
fx 2 R= x + 2 < 0g \ ([ 5; 8) [ N)
fx 2 R= jx 6j 3g
x 2 R=

2. Estudiar si los conjuntos del ejercicio anterior son abiertos, cerrados,acotados y/o compactos.
3. Estudiar la veracidad de las siguientes a…rmaciones:
1
(a) La sucesión (an ) con a1 = 1 y an+1 = an + es monótona creciente.
n
(b) Toda sucesión acotada es convergente.n
+ 7, entonces
(c) Sea (an ) una sucesión con límite 0. Si bn = sen
2
(an bn ) ! 0 cuando n ! 1.
(d) Si an

bn

cn y lim an = lim bn = 3, entonces lim cn = 3
n!1

n!1

n!1

(e) Sean(an ) y (bn ) dos sucesiones, con an ; bn > 0 para todo n 2 N y
an
lim an = lim bn = 0, entonces lim
= 1:
n!1
n!1
n!1 bn
(f) Sean (an ) y (bn ) dos sucesiones, con bn 6= 0 para todo n 2 N. Sian
an > bn para todo n 2 N y existe y lim
= l, entonces l > 1:
n!1 bn
4. Demostrar aplicando la de…nición de límite que lim

n!1

n

1
2n

=

1
.
2

5. Hallar el carácter(convergente, divergente, oscilante) de la sucesión
an =

1+

1
n

n

+ ( 1)

6. Demostrar que
p
(a) lim n n = 1
n!1
p
(b) lim n a = 1 para todo a > 0.
n!1

1

1

3
n

7. Calcularlos límites de las siguientes sucesiones:
p
p
an =
n2 + 3n
n2 + 3
r
p
p
n+1
n+1
n
bn =
2
2n + 3
cn =
n2 + 5n
p
p
n
n4
p
dn =
n7
en

=

n2 + n

1
2n+1

n

fn
gn

==

( 1)
sen
n
n
1+ 2
n +1

n3 + 3n2 + log n
n!
p

n

n

8. Estudiar el carácter (convergente, divergente u oscilante) de las siguientes
series y calcular su suma si son convergentes.11
.
(a)
n=0 3n
12
(b)
.
n=3 5n
n
1
3
n
(c)
( 1)
n=1
5
(d)
(e)
(f)

1

n

n=1

( 1)

6
5

n

2n + 5n
n=1
6n
1

1
n=0

(3 + 0; 2 n)

9. (a) ¿Es cierto que...