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18-03-2014

MBA Ing. Bianca Passteni Barraza

Cinemática de una partícula
Definiciones
Cinemática: Estudio de la geometría del movimiento. Relaciona
el desplazamiento (variación de la posición), la velocidad
(variación de la posición con el tiempo) y la aceleración
(variación de la velocidad con tiempo) sin hacer referencia a la
causa del movimiento.
Partícula: Punto que se mueve comoun todo sin que se refiera
al tamaño. Se desprecia cualquier rotación con respecto a su
propio centro de gravedad, sólo posee masa (se trata lo mismo
un grano de arena que un elefante).

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Revisión de vectores
Se usan vectores para describir el movimiento de una partícula. Un
vector es la expresión matemática del movimiento y tiene magnitud,
dirección y sentido. Se denotacomo una flecha cuya longitud refleja
la magnitud, su orientación la dirección y su cabeza el sentido del
movimiento (Figura). Se usa para representar desplazamiento,
velocidad, aceleración, momento y fuerza.
La Recta que
contiene el vector
indica la Dirección

→

La punta de la
flecha indica el
Sentido

A

α

El largo (tamaño) de la
flecha indica la Magnitud

| A |= ARevisiónr de vectores
r

La suma de dos vectores A + B se define como
r
el vector resultante R . Para encontrar la suma
r
se traza el primer vector A y r
donde se termina,
se empieza trazar el vector B , (ver Figura). La
r
suma ( R ) está dada por un vector que conecta
el principio del primero con el final del segundo.

El producto escalar (porque da por resultado un
r r
escalar) dedos vectores A ⋅ B (producto punto),
se define como:

r r
A ⋅ B = AB cos θ

θ es el ángulo que forma los dos vectores.

B
A
R

r
B

θ

r
A

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Revisión de vectores
• El producto que se ve más a menudo en
este cursores r producto vectorial de dos
el
vectores A × B (producto cruz) se define
como un vector que tiene la magnitud de
ABsenθ y actúa en unadirección
r r
perpendicular al plano que contiene AyB
Se suele definir la dirección de un
vector por vectores unitarios iˆ , ˆ , k que
j ˆ
apuntan
respectivamente
en
la
dirección de los ejes X, Y, Z (ver
Figura). Tienen una magnitud unitaria
constante y direcciones fijas.

r r
A× B

ˆ
n

r
B
θ

r
A

r r
ˆ
A × B = ( ABsenθ )n

Revisión de vectores
Los productos cruz entreiˆ , ˆ , k
j ˆ
los siguientes:
iˆ × ˆ =
j
r
ˆ ˆ j j ˆ ˆ
i ×i = ˆ× ˆ = k × k = 0
ˆ× k =
j ˆ

son
ˆ
k

ˆ
k
iˆ

iˆ

ˆ
j

ˆ
k × iˆ = ˆ
j
• Un vector es el producto de su
magnitud y su dirección:
r
A =

r
ˆ
A A

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Cinemática: Revisión de los Conceptos de
Velocidad y Aceleración
Velocidad:

r

r

La velocidad es el cambio en posición con eltiempo (v = dr dt ). El
vector de la velocidad apunta en el sentido del movimiento y siempre
queda tangente a la trayectoria. Una partícula describe una
trayectoria cualquiera con respecto a un sistema de referencia x,y,z
con un origen O

Cinemática: Revisión de los Conceptos de
Velocidad y Aceleración

r
r r
r1 + ∆r = r2
r r r
∆r = r2 − r1
Y, así el cambio en posición es:
r
r
Porlo tanto, la velocidad promedio es: V = ∆r
m
∆t
r
Cuando t → 0 el vector ∆r tiende a ser
∆r
r
r
lim
→
tangente a la trayectoria : v (t ) = lim vm = ∆t →0
∆t → 0
∆t
Sumando los vectores se obtiene:

r
r dr
v=
dt
Velocidad
instantánea

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Cinemática: Revisión de los Conceptos de
Velocidad y Aceleración
Aceleración:
La aceleración es el cambio de la velocidadcon respecto al tiempo.
Colocando los vectores de velocidad en un sistema de referencia
r
x,y,z se ve que la aceleración tendrá la misma dirección que ∆v (ver
Figura) y, por lo tanto, no queda tangente a la trayectoria.
La aceleración en cualquier momento esta dado por:

r
r
r
∆v dv
a = lim
=
∆t → 0 ∆t
dt

Cinemática: Revisión de los Conceptos de
Velocidad y Aceleración...