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PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012

MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

• Junio, Ejercicio 1, Opción A • Junio, Ejercicio 1, Opción B • Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A • Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B • Septiembre, Ejercicio 1, Opción A • Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

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Sea la función f : → definida por f ( x ) = e x ⋅ ( x − 2) . a)Calcula las asíntotas de f. b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Determina, si existen, los puntos de inflexión de f. MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N a) Asíntota vertical: No tiene, ya que el dominio de la función es Asíntota horizontal: lim e x ( x −2) = ∞ ⇒ No tiene.
x →∞

.

x−2 ∞ 1 = = lim = 0 ⇒ y = 0 x x →−∞ ∞ e ∞ Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontal
x →−∞

lim e x ( x − 2) = lim

x →−∞

b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:
f '( x) = e x + ( x − 2)e x = e x ( x − 1) = 0 ⇒ x = 1

( − ∞,1)
Signo f ' Función
―

(1, ∞ )
+

D

C

↓ mínimo (1, − e ) c) Calculamos la segunda derivada yla igualamos a cero: f ''( x) = e x ( x − 1) + e x = e x ⋅ x = 0 ⇒ x = 0

( − ∞, 0 )
Signo f '' Función
―

( 0, ∞ )
+

Cn ↓ P.I. ( 0, − 2 )

Cx

El dibujo de la función sería:

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Sabiendo que lim

a ⋅ sen x − x ⋅ e x es finito, calcula el valor de a y el de dicho limite. x→0 x2 MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.

R E S O L U C IÓ N

Aplicamos la regla de L’Hôpital lim
x →0

a ⋅ sen x − x ⋅ e x 0 a ⋅ cos x − e x + x ⋅ e x a − 1 = = lim = x2 0 x →0 2x 0

Como el limite es finito, se tiene que cumplir que: a − 1 = 0 ⇒ a = 1 , para que vuelva a salir podamos seguir aplicando L’Hôpital

0 y 0

1⋅ sen x − x ⋅ e x 0 1⋅ cos x − e x − x ⋅ e x 0 − sen x − e x − e x − x ⋅ e x − 2 = = lim = = lim = = −1 lim x →0 x2 0 x→0 2x 0 x →0 2 2

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Sea la función f : (0, + ∞ ) →

definida por f ( x ) =

1 + ln x , donde ln denota la función x

logaritmo neperiano. a) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el ⎡1 ⎤ intervalo ⎢ , e ⎥ . ⎣e ⎦ b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e .MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A

R E S O L U C I Ó N

a) Los extremos absolutos pueden estar en: - Las soluciones de f '( x ) = 0 . Calculamos la derivada y la igualamos a cero:
f '( x ) = − 1 1 x −1 + = 2 = 0 ⇒ x =1 ⇒ y = 1 x2 x x

- En los puntos donde no es continua o no es derivable. En nuestro caso como es continua y derivable, no hay ningún punto.
⎡1 ⎤ - En losextremos del intervalo ⎢ , e ⎥ . Calculamos los valores de la función en los ⎣e ⎦ extremos del intervalo. 1 ⎛1⎞ f ⎜ ⎟ = e −1 ; f (e) = + 1 e ⎝e⎠
⎛1 ⎞ Luego, el máximo absoluto está en ⎜ , e − 1⎟ y el mínimo absoluto en (1 , 1) ⎝e ⎠

b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = e es:
y − f (e) = f '(e) ⋅ ( x − e)

Calculamos:

1 1 f (e) = + ln e = + 1 e e f '( x) = − 1 1 11 e −1 + ⇒ f '(e) = − 2 + = 2 2 x x e e e

1 e −1 Sustituyendo, tenemos: y − f (e) = f '(e) ⋅ ( x − e) ⇒ y − − 1 = 2 ( x − e) e e

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2x 2 para x ≠ − 1 y x ≠ 2 ( x + 1)( x − 2) a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f c) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de f donde éstacorta a la asíntota horizontal. MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B

Sea f la función definida por f ( x ) =

R E S O L U C I Ó N Asíntota vertical: Son los valores que anulan al denominador, es decir, x = − 1 y x = 2 . Asíntota horizontal: lim 2x 2 ∞ 2 = = =2⇒ y =2 2 x →∞ x − x − 2 ∞ 1 Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontal

a)

b) Calculamos la primera...