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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

EJERCICIOS DE
´
CALCULO INTEGRAL
EN VARIAS VARIABLES

Ram´n Bruzual
o
Marisela Dom´
ınguez

Caracas, Venezuela
Julio 2005

Ram´n Bruzual
o
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´
ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas enGrupos
Centro de An´lisis
a
Escuela de Matem´tica
a
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Contenido
Integrales m´ltiples.
u

1

Integrales de l´
ınea y Teorema de Green.

9

An´lisis vectorial.
a

14

iii

Integrales m´ ltiples.
u
(1) Calcular las siguientes integrales iteradas.
2

(a)

1

dy
0

1

(x2 +2y) dx

(b)

0
4

(c)

0
2

dx
3

1

dx

1

0

2π

1
dy
(x + y)2

(d)

x2
dy
1 + y2

a

dθ
0

r dr
a sen θ

(2) Construir las regiones cuyas ´reas se expresan por las siguientes integrales, decir
a
qu´ tipo de regi´n es, y calcular la integral.
e
o
x2

1

2

dy

(a)
0

dx

3x+1

dy

(b)

dx

2x

1

0

(3) Hallar yrepresentar gr´ficamente las regiones de integraci´n que correspondan con
a
o
cada una de las siguientes integrales iteradas.
2

(a)

2−y

dy
−6
3

(c)

y2
−1
4

f (x, y) dx

(b)

(d)

x2

f (x, y) dy
0

2

f (x, y) dy

1

dx
0

x+9

dx

√
25−x2

3

x+2

dx
−1

f (x, y) dy
x2

(4) Calcular la siguiente integral doble por integraci´n sucesiva.
o
xy(x+ y) dx dy, donde Q = [0, 1] × [0, 1].
Q

(5) Demostrar que el ´rea de la parte del disco de centro (0, 0) y radio 1 que est´
a
a
√
comprendida entre la recta x = 1/2 y la recta x = −1/2 es igual a π/3 + 3/2.
(6) Sea 0 < t < 1. Calcular el ´rea de S = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] : y < t/x}.
a

1

´
INTEGRALES MULTIPLES.

2

(7) Dibujar las regiones de integraci´n y calcular laintegral doble.
o
(a)

x cos(x + y) dx dy donde S es el tri´ngulo de v´rtices (0, 0), (π, 0) y (π, π).
a
e
S

ex+y dx dy donde S = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}.

(b)
S

(8) Sea f : [0, 1] × [0, 1] → R definida por

1 si x es racional;
f (x, y) =
2y si x es irracional.
Demuestre que

1

1

dx
0

f (x, y) dy = 1,
0

y que f no es integrable Riemann en el rect´ngulo [0, 1]× [0, 1].
a
(9) ¿Es posible dar un ejemplo de una funci´n f : [0, 1] × [0, 1] → R que es integrable y
o
sin embargo no est´n definidas ninguna de las integrales iteradas de f ?
a
(10) Demuestre que
1

∞

dy
0

∞

(e−xy − 2e−2xy ) dx =

1

1

dx
1

(e−xy − 2e−2xy ) dy.

0

(11) Sea D ⊂ Rn y f : D → Rn una funci´n continua. Demostrar que si x0 es un punto
o
interior de Dentonces
f (x0 ) = lim

r→0

1
Vn (B(x0 , r))

f dV.
B(x0 ,r)

(12) Demostrar la regla de Leibnitz : Si g : [a, b] × [c, d] → R es continua y
entonces

d
dy

b

b

g(t, y) dt =
a

a

∂g
(t, y) dt.
∂y

(Indicaci´n: Cambiar el orden de integraci´n en
o
o
(13) Demostrar que si g(x, y) y
entonces
d
dy

h2 (y)

h2 (y)

g(t, y) dt =
h1 (y)

h1 (y)

∂g
escontinua
∂y

y
c

dx

b ∂g
(t, x) dt.)
a ∂y

∂g
(x, y) son continuas y h1 y h2 son diferenciables,
∂y

∂g
(t, y) dt + h2 (y)g(h2 (y), y) − h1 (y)g(h1 (y), y).
∂y

´
INTEGRALES MULTIPLES.

3

(14) Evaluar la siguiente integral iterada y dibujar la regi´n D determinada por los
o
l´
ımites de integraci´n (algunas de las integrales son impropias).
o
1

|x|

(a)x+y

e
1

dydx

(b)
0

−2|x|
1

1

(c)
0

0

π
2

1
√ dxdy
x

cos θ

cos θ drdθ
0

π
2

(d)
0

+∞

2

re−r drdθ

0

(15) Cambiar el orden de integraci´n en
o
1

x

f (x, y) dydx.
0

0

(16) Usando integrales, verificar:
(a) El ´rea de una elipse con semiejes de longitud a y b es πab.
a
(b) El volumen de un elipsoide con semiejes a, b y c...