semana3

Taller de Control


Ejercicio N° 1:



Para el circuito de la figura se sacan las ecuaciones teniendo en cuenta las leyes de Kirchhoff y los fundamentos de un amplificador operacional:



Ahora debemos aplicar la trasformada de Laplace para llevar la ecuación diferenciar resultante del análisis al dominio de la frecuencia:


Se puede notar que este es un amplificador-inversor yque su ganancia tiene la misma forma de la función de transferencia. Para el ejercicio se pide la constante de tiempo, valor en estado estacionario, el tiempo de establecimiento, y el error en estado estable para una entrada tipo paso, así que lo primero que debemos hacer es enunciar la entrada paso, esto es:


Entonces la salida haciendo uso de la función de transferencia será:

Haciendo usode la expansión en fracciones parciales quedaría de la siguiente forma:

Aplicando transformada inversa de Laplace para obtener la ecuación de salida en el dominio del tiempo, así:



Para obtener el valor en estado estacionario hay que hacer que la salida tome un valor correspondiente a un tiempo muy grande (tiempo en el que haya alcanzado el valor estable), esto es , asi:


Luego, paraobtener la constante de tiempo del sistema debemos observar la forma de la salida del sistema a una entrada escalón unitario, así tenemos:



Podemos notar que la constante de tiempo
El tiempo de establecimiento se obtiene al considerar que cuando se alcanza el valor en estado estacionario, entonces:

El error en estado estable es la diferencia que existe entre la entrada y la salidacuando el tiempo es tan grande que se ha alcanzado el estado estacionario, de esta forma:




Si , entonces:

Luego de obtener todos los parámetros reemplazamos en cada una de las formulas los valores de para obtener los resultados requeridos:





Al desarrollar en Matlab un algoritmo que mostrara la gráfica de la respuesta a una entrada paso del sistema, encontramos la siguienterespuesta:
Programa en Matlab:

%----Respuesta paso----
num=[-1];
den=[0.001 1];
num1=[1];
den1=[1];
figure(1)
hold on
step(num1,den1);
step(num,den);
title 'Respuesta paso'
xlabel 'tiempo'
ylabel 'Vo(t)'

En este programa se muestra en primera instancia los vectores del numerador y denominador de la función de transferencia, para luego ser almacenadas en una sola grafica que contengala respuesta al impulso como el impulso unitario. Como complemento se colocaron las marcas de los ejes indicando que representa cada uno.
Grafica obtenida en Matlab:
La función de transferencia de este punto tiene una particularidad de al ser el amplificador operacional inversor la salida del sistema está desfasada 180° con respecto a la entrada o en su defecto es de signo opuesto a la entrada,por lo tanto la respuesta del sistema va a presentar un error en estado estable de 2 pero esto es consecuencia de lo anteriormente descrito.

Programa para la familia de sistemas:

%----Respuesta paso para la familia de curvas----
%----Sistema N°1 R1=R2=1K? C=10uF----
num1=[-1];
den1=[0.01 1];
%----Sistema N°2 R1=1K? R2=2K? C=10uF----
num2=[-2];
den2=[0.02 1];
%----Sistema N°3 R1=2K?R2=1K? C=10uF----
num3=[-0.5];
den3=[0.01 1];
%----Sistema N°4 R1=1k? R2=2K? c=100uF----
num4=[-2];
den4=[0.2 1];
%----Sistema de ganancia unitaria para mostrar Escalon unitario----
numes=[1];
denes=[1];
%----Graficas en una sola de todos los sistemas----
figure(2)
step(num1,den1);
title 'Respuesta paso de los 4 sistemas'
xlabel 'Tiempo'
ylabel 'amplitud'
%----Textos para identificarcada curva----
text(0.3,-0.9,'Sistema 1')
text(0.1,-1.9,'Sistema 2')
text(0.2,-0.4,'Sistema 3')
text(0.4,-1.6,'Sistema 4')
hold on
step(numes,denes);
step(num2,den2);
step(num3,den3);
step(num4,den4);
hold off

En el programa anterior se muestra primero la declaración de los vectores “Función de transferencia” y luego se almacenan todas para visualizar todos los sistemas en una sola...