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DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION Y TEOREMAS DE LIMITES:
Si la función  tiene límite  en  podemos decir de manera informal que la función  tiende hacia el límite  cerca de  si se puede hacerque  esté tan cerca como queramos de  haciendo que  esté suficientemente cerca de  siendo  distinto de .
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se dauna definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo  existe un  tal que para todo númeroreal x en el dominio de la función .
Esto, escrito en notación formal:

Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definidoel concepto de límite. Esta notación es tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientementecerca, entonces la elección del δ no era adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
No obstante, hay casos como por ejemplo la función deDirichlet  definida como:

donde no existe un número c para el cual exista . Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto númerosracionales como irracionales.
Límites laterales


El límite cuando: x → x0+ ≠ x → x0-. Por lo tanto, el límite cuando x → x0 no existe.
De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores másgrandes que éste (derecha):

o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

Si los dos límites anteriores son iguales:

entonces L se puedenreferir como el límite de f(x) en c. Dicho de otro modo, si estos no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.
Funciones en espacios métricos
Existe otra manera de definir el...