Serie De Taylor

SERIE DE TAYLOR:
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantasexpresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.
Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc.
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operacionestengan la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

 
o expresado de otra forma

Donde n! es el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a
Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para finesprácticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie.
 
Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de n-ésimo orden.
Para otras funciones continuasdiferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.
¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia.

Error de Propagación:
Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de ladiscrepancia entre u y ũ en el valor de la función.

Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:

Estabilidad y Condición:
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada.
Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por el método numérico.
Usando la serie deTaylor de primer orden:

Estimando el error relativo de f(x) como en:

El error relativo de x está dado por:

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos:
Número Condicionado:

El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x):
* Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función esidéntico al valor relativo de x.
* Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.
* Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo.
Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados.
El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores deredondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora.
El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan.
No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los problemas. La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero....