serie de taylor





Tema: teorema de Taylor


Introducción
En el presente trabajo de investigación se explicara de manera clara y precisa sobre el estudio de la serie de Taylor, como surge y para qué sirve, al igual se interpreta detenidamente sus fórmulas y cómo podemos utilizarlas según las variables que contengan, además de la expansión de una función arbitraria, expansión de Taylor y de extremorelativo, sin obviar el diferencial de segundo orden de la serie de Taylor.
Cada tema expuesto será explicado detenidamente y cada uno contendrá ejemplos para la mayor comprensión sobre el tema.


















Series de Taylor
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función, la cualproporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.
 
Dado que para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual.
 
Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales,logarítmicas etc. Se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando, el cual se lo realizara con la siguiente formula ya sea con una variable o con dos o más variables.

Formula de la serie de Taylor de una función con una variable
Este teorema permite aproximar una función derivable en el entornoreducido alrededor de un punto) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si  ≥ 0 es un entero y  una función que es derivable  veces en el intervalo cerrado [, ] y +1 veces en el intervalo abierto (, ), entonces se cumple la siguiente función:



La cual puede ser escrita de la siguiente manera como sumatoria:

Donde Esel factorial de
denota la n-enésima derivada de e para el valor de la variable respecto de la cual se deriva.
Formula de la serie de Taylor de una función con dos variables


En la segunda línea de esta fórmula aparecen los términos de grado dos, que involucran a las derivadas segundas de f en p. Como puede verse, los términos de grado menor coinciden con los del polinomio de Taylor deorden uno. Esta es una propiedad general de los polinomios de Taylor, y que ya conocemos en el caso de funciones de una variable: al aumentar el grado del polinomio se añaden nuevos términos a los ya conocidos.

SERIE DE TAYLOR DE UNA FUNCION POLINOMIAL
Si queremos desarrollar en torno a un punto especifico podemos interpretar como cualquier valor de x como una desviación de
Es una variablepero: es un número fijo, es una variable
Ejemplo:


(1)

Podemos desarrollar la serie de Maclaurin:
(2)
Nos queda que
, y si entonces por consiguiente , para el caso de
Entonces:Tenemos:
(3)
Debemos comparar este resultado, el polinomio de Taylor de , con el polinomio de Maclaurin de (2)

El polinomio de Taylor (3) se convierte en:






La fórmula generalizada de Taylor es:


Expansión de una función arbitraria
Es posible expresar alguna función arbitraria, una que no necesariamente es polinomio, en una forma polinomial similar a:

Siempre que tenga derivadas continuas finitas hasta el orden deseado en el punto de expansión x0.
De acuerdo con la proposición matemática conocida como teorema de Taylor, dada una función arbitraria si conocemos el valor de la función en es decir y los valores de sus derivadas en , entonces esta función se...