Series de Taylor

En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinadovalor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.

Estarepresentación tiene tres ventajas importantes:
La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
Se puede utilizar paracalcular valores aproximados de la función.
Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones nose pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie deLaurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real ocomplejo a es la siguiente serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria:

donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésimaderivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva. La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como como 1 ( = 1). En caso de ser a = 0, como ya semencionara, la serie se denomina también de Maclaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma siempre se puede hacer el cambio de variable (con lo que enla función a desarrollar original) para expresarla como centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función alrededor de a = 1 se puede tomar...