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La Ley de Gauss
1.

Introducci´
on

− La ley de Gauss desempe˜
na un papel importante dentro de la electrost´atica y del electromagnetismo por dos razones b´asicas:
1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo el´ectrico debido
a una distribuci´on de cargas cuando ´esta presenta buenas propiedades de simetr´ıa.
En estos casos, suele resultar mucho m´as simpleusar la ley de Gauss que obtener E
por integraci´on directa sobre la distribuci´on de cargas, tal y como se ha descrito en
el tema anterior.
2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley b´asica, no s´olo de la
electrost´atica, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de
las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos losfen´omenos electromagn´eticos).
− Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuaci´on matem´atica que relaciona
el campo el´ectrico sobre una superficie cerrada con la carga el´ectrica encerrada en su
interior.
− La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto
de l´ıneas de campo. Como se vi´o en el tema anterior, el n´
umero de l´ıneas de campoque
parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie
cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el n´
umero total de l´ıneas que pasan
a trav´es de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior (ver Fig. 1). Adem´as,
como se puede apreciar en la figura, el n´
umero de l´ıneas debe ser independiente de la forma
de la superficie queencierra a la carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista
cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el n´
umero de l´ıneas de campo que atraviesan
una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en
su interior.

Figura 1:

1

2.

Flujo El´
ectrico

− El flujo el´
ectrico dΦ a trav´es de una superficie elemental da se define comoel producto escalar del vector campo E en dicho punto por el vector elemento de a
´rea da (ver
Fig. 2 (a)):
dΦ = E · da

(1)

Figura 2:
− El flujo total a trav´es de una cierta superficie S, a lo largo de la cual el campo E puede
variar de punto a punto, se obtiene dividiendo S en peque˜
nos elementos de superficie ∆a,
en cada uno de los cuales E se puede suponer uniforme, y sumando elflujo a trav´es de
cada uno de estos elementos de superficie (Fig. 2 (b)),
Φ=

E · ∆a =
S

S

E · da

(2)

Por tanto, el flujo el´
ectrico a trav´es de una superficie arbitraria S es igual a la integral
de superficie del campo E sobre dicha superficie.
− Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se suele designar mediante
que el flujo a trav´es de una superficiecerrada S se suele escribir:
Φ=
S

, de modo
S

E · da

(3)

− Es conveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al flujo el´ectrico a trav´es de
una superficie:
Significado: el flujo el´ectrico a trav´es de una superficie puede interpretarse como
una medida del n´
umero de l´ıneas de campo que atraviesan dicha superficie;
en el caso de una superficie cerrada, las l´ıneas decampo que salen a trav´es de la
superficie dan una contribuci´on positiva al flujo, mientras que las l´ıneas que entran
dan una contribuci´on negativa. Por tanto, el flujo el´ectrico a trav´es de una superficie cerrada es una medida del n´
umero neto de l´ıneas que pasan a trav´es de dicha
superficie, es decir, del n´
umero de l´ıneas que salen menos el n´
umero de l´ıneas que
entran;
lasunidades de flujo el´ectrico en el sistema internacional son Newton · m2 /C;
2

3.

La Ley de Gauss

− Ley de Gauss: el flujo el´ectrico neto a trav´es de una superficie cerrada cualquiera es
igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella dividida por ε 0 :

Φ=

Q
E · da = εint
0
S

(4)

donde Qint es la carga neta en el interior de S.
− Notar los siguientes puntos en...