Sierpinsqi

FRACTALES DE SIERPINSKI

ALEXANDRA PAEZ
DEBORA GARCIA
FREDY TORRALBA
10°

DIEGO BALLESTEROS

LICEO BETHESDA
TRIGONOMETRIA
MAYO 2012

Fractales de Sierpinski

Waclaw Sierpinski fue un importante matemático polaco que dedicó una parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales. Estas son las más importantes:
Triángulo de Sierpinski
Este triángulo seconstruye partiendo de un triángulo simple. Después, se unen los puntos centrales de cada arista de modo que quede dividido en cuatro triángulos iguales. Con esto, a cada uno de los tres triángulos que quedan en la posición de los vértices del triángulo original se les aplica esta misma transformación sucesivamente:


Una propiedad muy llamativa del triángulo de Sierpinski es su conexión con eltriángulo de Pascal. El triángulo de Pascal define de arriba abajo los coeficientes de cada uno de los términos del desarrollo de un binomio elevado a la potencia correspondiente a la profundidad del triángulo. Este es el triángulo hasta la sexta potencia:

Ahora, superponiendo un triángulo de Sierpinski sobre el de Pascal (siendo los dos de igual tamaño) se puede comprobar que los triángulos negrosde Sierpinski se corresponden exactamente con los números impares de Pascal, y los triángulos blancos se corresponden con pares, según esta figura.

En el triángulo de la derecha aparecen los números del triángulo de Pascal y en el de la izquierda aparece el resultado del módulo 2 para cada uno de ellos.
Además de esta coincidencia para la divisibilidad por 2, en general el triángulo de Pascalpresenta unas formas muy concretas cuando se toma cada uno de sus números como una celda que se pinta de color blanco cuando el número al que corresponde es múltiplo de otro número concreto (por ejemplo 3, 5 o 9) o se pinta de negro cuando no es múltiplo. En todos estos casos el resultado, con variaciones en el tamaño o en la resolución obtenida, siempre presenta formas similares a uno o variostriángulos de Sierpinski. En el caso concreto de divisibilidad por números primos se puede demostrar que al hacer este coloreado siempre se obtiene un triángulo de Sierpinski.
Esta versión en 2D del triángulo de Sierpinski es generalizable a una pirámide 3D, donde se usan pirámides de base cuadrada en lugar de triángulos como constructores (se suele llamar tetraedro de Sierpinski). El método deconstrucción es totalmente análogo al caso de 2D, cambiando la unidad de construcción, y al mismo tiempo que se construye cada uno de sus lados se corresponde con un triángulo de Sierpinski en 2D. Su dimensión fractal es 2’3219. Este es una imagen de su construcción:

Alfombra de Sierpinski

Este fractal es similar al triángulo de Sierpinski, pero usando esta vez cuadrados para sudefinición. En su construcción se parte de un cuadrado negro, que se subdivide en nueve cuadrados iguales, de los cuales el que queda en el medio de todos se pinta de blanco y el resto se deja de color negro. Después se va repitiendo este procedimiento en sucesivas iteraciones para cada uno de los cuadrados negros que se hayan formado. Con esto se van obteniendo las figuras siguientes:

Para calcularsu dimensión fractal se usa el mismo cálculo que para el triángulo de Sierpinski. Las variaciones están en el parámetro
nº cuadrados negros =
Tamaño del lado de los cuadrados blancos = 3
Dimensión fractal = - lim [nèinf.] ((ln 8n) / (ln 3-n)) = 1’89278926…

Este fractal puede verse también como una generalización del conjunto de Cantor. En realidad, si se traza una línea horizontal (overtical) que pase por el
Centro del cuadrado y se mira su evolución en las distintas etapas de construcción de la alfombra se obtiene exactamente el conjunto de Cantor.
Además de esta visión 2D se puede hacer una generalización de esta construcción para 3D con un cubo (se suele llamar esponja de Sierpinski y Menger). La figura de la que se parte es un cubo, que se divide en 27 cubos más pequeños,...