Sistemas Dinamicos

CONTROL I

ING. QUIRINO JIMENEZ D.

CAPITULO II
MODELOS MATEMÁTICOS DINÁMICOS Introducción. El primer paso para el diseño de un sistema de control consiste en obtener ecuaciones diferenciales para todas aquellas partes del sistema que no varían. Comúnmente, las componentes de un sistema de control incluyen elementos eléctricos, electrónicos, mecánicos y electromecánicos. Este apartadointenta proporcionar una breve reseña de las ecuaciones que caracterizan a algunos de los componentes comunes del sistema de control y sus conexiones. Muchos otros tipos de elementos menos comunes, hidráulicos, térmicos, neumáticos, biológicos y químicos, pueden, en determinado momento, integrarse también en un sistema de control.

2.1. Sistemas Mecánicos. Enseguida se estudiarán los modelados desistemas mecánicos. Como puede resultar obvio, la ley que rige estos modelados es la Segunda ley de Newton, la cual es aplicable a cualquier sistema mecánico. Un método sistemático para obtener ecuaciones de arreglos como los presentes es el siguiente: 1. Se definen posiciones con sentidos direccionales para cada masa del sistema. 2. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las masas,expresando las fuerzas que actúan sobre ellas en términos de posiciones de masa A continuación, mencionaremos algunos ejemplos importantes. Sistemas mecánicos traslacionales. Considérese un sistema de masa-resorte-amortiguador, montado en un carro como se muestra en la figura. Obtendremos su modelo matemático suponiendo que el sistema está en reposo para un tiempo t < 0. En este sistema u(t) es eldesplazamiento del carro y se considera como nuestra entrada. En t = 0, el carro se desplaza a velocidad constante y u es constante también. La salida es el desplazamiento de la masa m que está montada en el carro, y este desplazamiento se representa y(t), medido con respecto al suelo.
u y

k b m

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Además de la masa m, consideraremos otrasconstantes como k, que es la constante del resorte; y B que es el coeficiente de viscosidad. Al suponer que el resorte es lineal, la fuerza del mismo es proporcional a y – u. La segunda ley de Newton establece que ma = ∑ F ma = Sum F, que aplicada al sistema presenta nos da
m d2y ⎛ dy du ⎞ = − b⎜ − ⎟ − k ( y − u ) 2 dt ⎝ dt dt ⎠

O bien

m

d2y dy du + b + ky = b + ku 2 dt dt dt

Esta ultimaecuación es el modelo matemático buscado. Sin embargo, en control nos interesa representar nuestros modelados mediante una función de d transferencia. Si tomamos como D en la ecuación anterior, tenemos dt

mD2y +bD(y – u) +(y – u) = 0
En la ecuación anterior, aplicando la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación nos queda

L

(mD2y +bD(y – u) +(y – u) = 0 )

. De la definiciónde función de transferencia, hemos eliminado las derivadas de las funciones en t = 0, puesto que son nulas. Finalmente se toma la relación de Y(s) con respecto a U(s), para obtener

(ms2 + bs k)Y(s) = (bs + k)U(s)
Función de transferencia = G(s) =

Y (s) bs + k = 2 U ( s ) ms + bs + k

El modelado anterior es uno de los más frecuentes en el estudio de ingeniería de control, por sus muchasaplicaciones. Sin embargo se debe hacer notar que los modelos en que se usa la función de transferencia tienen aplicación únicamente en sistemas lineales invariantes en el tiempo, puesto que la función de transferencia sólo está definida para dichos sistemas.

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Un sismógrafo. Como segundo caso, consideremos un sistema detector de vibraciones del suelo,el cual se representa a continuación.
x

m

xo

k

b

Como se puede observar, el arreglo de sus componentes es muy similar al análisis anterior. En la figura aparecen los siguientes parámetros: • x = desplazamiento del gabinete con respecto a la masa. • x0 = desplazamiento de la masa con respecto al espacio inercial. • y = x0 – x = desplazamiento de la masa con respecto al gabinete....