SISTEMAS DINAMICOS

Tema 9
ECUACIONES Y SISTEMAS EN
DIFERENCIAS

9.1.

Introducci´n
o

En ocasiones, al construir un modelo matem´tico interesa elegir una variable que
a
tome valores discretos. As´ ocurre, por ejemplo, con el tiempo, ya que es com´n
ı
u
realizar mediciones regulares a la hora de controlar un experimento. Estos datos
constituyen un conjunto finito, o infinito numerable, de valores de lavariable independiente. Para este tipo de modelos determin´
ısticos discretos, las herramientas
matem´ticas m´s adecuadas para analizarlos son las ecuaciones en diferencias y los
a
a
sistemas en diferencias. El presente tema es una breve introducci´n a su estudio.
o
Comenzaremos con los conceptos y definiciones b´sicas y nos centraremos en el
a
estudio de las ecuaciones en diferenciaslineales de primer y segundo orden con coeficientes constantes, as´ como en los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer
ı
orden con coeficientes constantes.
A lo largo del cap´
ıtulo llamaremos t a la variable independiente, y supondremos que
s´lo toma los valores enteros t = 0, 1, 2, · · · . Generalmente, t representa el n´mero
o
u
de generaciones (a˜os, trimestres, meses, d´ · · · ) quehan transcurrido desde un
n
ıas,
momento inicial t = 0. Del mismo modo, {y0 , y1 , y2 , · · · } es una sucesi´n, donde yt
o
corresponde a un valor concreto de t.
´
DEFINICION 9.1.1 Llamamos ecuaci´n en diferencias a una expresi´n del tipo
o
o
F (yt+n , yt+n−1 , yt+n−2 , · · · , yt+1 , yt , t) = 0 .
Una soluci´n de la misma, es toda sucesi´n y que la cumpla.
o
o

261

262

Tema9 Ecuaciones y sistemas en diferencias

El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de soluci´n general. Esta
o
soluci´n general presenta cierto n´mero de par´metros, que pueden determinarse a
o
u
a
partir de las condiciones iniciales, dando lugar a las diferentes soluciones particulares.
´
DEFINICION 9.1.2 Llamamos orden de la ecuaci´n, a la diferencia entre el
o
mayor y elmenor de los ´
ındices que afectan a y.
La expresi´n −2yt+3 +3yt = t+1, es una ecuaci´n en diferencias de orden t+3−t = 3,
o
o
o de tercer orden.
La ecuaci´n en diferencias yt+1 − yt = 2, es de primer orden y tiene por soluci´n
o
o
general a todas las progresiones aritm´ticas de raz´n 2, es decir
e
o
yt = y(t) = 2t + C,
siendo C una constante cualquiera. Una soluci´n particular, es laprogresi´n arito
o
m´tica
e
{1, 3, 5, 7, · · · , 2t + 1, · · · } .

EJEMPLO 9.1
Vamos a construir el modelo que corresponde a la siguiente situaci´n. Supongamos
o
que una poblaci´n de insectos crece el triple, en cada per´
o
ıodo de tiempo que transcurre entre dos medidas, de lo que creci´ en el per´
o
ıodo inmediatamente anterior.
Si llamamos yt al n´mero de individuos en elinstante t; del enunciado del ejemplo
u
se deduce,
yt+2 − yt+1 = 3(yt+1 − yt ) ,

t = 0, 1, 2, 3, · · ·

simplificando obtenemos,
yt+2 − 4yt+1 + 3yt = 0 ,

(9.1)

que es una ecuaci´n en diferencias de segundo orden. Si por ejemplo, conocemos el
o
n´mero inicial de insectos, y0 = y(0) = 100, podemos sustituir y obtendr´
u
ıamos
y2 − 4y1 + 300 = 0 ,
lo cual nos indica que debemos saberotra medida, por ejemplo y1 , para poder
encontrar el resto de los valores. En las pr´ximas secciones aprenderemos a resolver
o
este tipo de ecuaciones, y volveremos sobre (9.1).

263

9.2 Ecuaciones lineales de primer orden

9.2.

Ecuaciones lineales de primer orden

´
DEFINICION 9.2.1 Una ecuaci´n en diferencias lineal de primer orden es aqueo
lla que puede expresarse como
p1(t)yt+1 + p2 (t)yt = q(t) ,

(9.2)

donde pi (t), i = 1, 2 y q(t) son funciones en la variable discreta t. Si la sucesi´n
o
q(t) es nula, entonces la ecuaci´n lineal recibe el nombre de ecuaci´n homog´nea
o
o
e
asociada a (9.2). Cuando las funciones p1 (t) y p2 (t) son constantes, se dice que la
ecuaci´n lineal (9.2) es de coeficientes constantes.
o
Este tipo de ecuaciones son muy...