Sistemas Dinámicos Elementales

Sistemas Dinámicos Elementales

Resumen
El principal objetivo del siguiente trabajo es dar una breve descripción de un área de investigación en matemática: los sistemas dinámicos. Para tal efecto se presentan ejemplos que tienen relación con otros campos de la ciencia: Economía, Física, Demografía, etc.

Introducción
Se podría decir que los sistemas dinámicos son un área ``joven" delas matemáticas, aunque se remontan a Newton con sus estudios de Mecánica Celeste, y a Henri Poincaré, quien inició el estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, fue hace apenas unos 40 años que los sistemas dinámicos se establecieron como un área propiamente dicha, gracias al trabajo destacado de matemáticos e ingenieros como: S. Smale, V. Arnold, Lyapunov, etc.
Si tratamosde precisar el concepto de sistemas dinámicos, podríamos decir burdamente que se trata del estudio de sistemas deterministas, es decir, consideramos situaciones que dependan de algún parámetro dado, que frecuentemente suponemos es el tiempo, y que varían de acuerdo a leyes establecidas. De manera que el conocimiento de la situación en un momento dado, nos permite reconstruir el pasado y predecirel futuro.
Siendo un poco más formales, se prodría decir que un sistema dinámico es un modo de describir el recorrido a lo largo del tiempo de todos los puntos de un espacio dado . El espacio puede imaginarse, por ejemplo, como el espacio de estados2 de cierto sistema físico.
Matemáticamente, puede ser un espacio euclideano o un subconjunto abierto de un espacio euclideano. Un sistemadinámico para nos dice para cada , dónde está una unidad de tiempo más tarde, dos unidades de tiempo más tarde, y así sucesivamente. Denotamos estas nuevas posiciones de por respectivamente. En el instante cero, está en o . Una unidad antes del instante cero, estaba en . Si se extrapola para cubrir todos los números reales, se obtiene una trayectoria para todo tiempo . La aplicación , queenvía a , es una curva en que representa la historia de cuando va de a .
Un sistema dinámico es una aplicación , de clase , donde es un conjunto abierto de un espacio euclídeo, tal que, escribiendo , la aplicación satisface
• es la función identidad.
• La composición , para todo .
En lo que sigue se darán algunos ejemplos que ayudarán a precisar la definición de sistemasdinámicos y la manera en que estos nos ayudan a entender el mundo que nos rodea.
Ejemplo 1
Supongamos que, extrañamente, nos encontramos en una ``crisis económica" y algún banco ofrece prestarnos dinero. La tasa de interés que cobra el banco es de 2 % mensual, y nuestra capacidad de pago real es de veinte mil colones mensuales máximo. Cuánto dinero queremos que nos preste el banco? Ingenuamentepodríamos responder ``pues todo lo que se pueda", pero vamos a analizar este sencillo ejemplo un poco más. Denotemos por la cantidad de dinero que queremos pedir prestado al banco, y por nuestra deuda después de meses. Entonces tenemos que


Observemos que si , el préstamo inicial, es de un millón de colones, entonces


etc., es decir que es un punto fijo, o un punto de equilibrio, delsistema dinámico en cuestión. Podemos entonces concluir:
• Si el banco nos presta menos de un millón, algún día terminaremos de pagarle.
• Si el banco nos presta más de un millón, algún día tendremos que venderle el alma al diablo, o hacer algo para poder pagar.
• Si el banco nos presta exactamente un millón, simplemente le pagaremos 20 mil colones mensuales de interés por el resto denuestra vida.
Así que conocer las leyes que rigen el sistema, nos permite predecir el futuro. Ustedes tienen la palabra, cuánto quieren que les preste el banco?
Expresiones del tipo presentado, donde tenemos una sucesión de valores , un entero, tales que el valor de está determinado por los valores anteriores , etc., se llaman ecuaciones en diferencias, y dan ejemplos de sistemas dinámicos...